在matlab中，根轨迹与虚轴无交点时，怎样找到系统临界阻尼时对应的K值及其闭环极点

在 MATLAB 中，可以使用 `rlocus` 函数绘制系统的根轨迹图，并且可以使用 `rlocfind` 函数找到根轨迹上特定点的增益和极点。

根据根轨迹的特点，当根轨迹与虚轴无交点时，系统的临界阻尼时对应的阻尼比为1。因此，我们可以使用 `rlocus` 函数绘制系统的根轨迹，并观察根轨迹与虚轴的交点情况。

例如，假设系统的传递函数为：

$$G(s) = \frac{K}{s^2 + 2s + 2}$$

我们可以在 MATLAB 中使用以下代码绘制根轨迹：

G = tf([1], [1 2 2]);
rlocus(G)

绘制完成后，我们可以观察根轨迹与虚轴的交点情况，确定系统的临界阻尼时对应的增益值。

接着，我们可以使用 `rlocfind` 函数找到根轨迹上特定点的增益和极点。例如，假设我们想要找到根轨迹上阻尼比为1时的点，可以在根轨迹上选择一个接近阻尼比为1的点，然后使用 `rlocfind` 函数求解。

例如，选择根轨迹上 $s=-1+j$ 的点，可以使用以下代码找到该点对应的增益和极点：

[k, poles] = rlocfind(G, -1+j)

其中，`k` 表示该点对应的增益，`poles` 表示该点对应的闭环极点。

需要注意的是，`rlocfind` 函数只能找到根轨迹上最接近给定点的增益和极点，因此找到的增益和极点可能与严格的临界阻尼时对应的值略有偏差。但是，这种方法仍然可以帮助我们大致确定系统的临界阻尼时对应的增益和极点。

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$$\zeta = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\pi}{\ln(M_p)}\right)^2}}$$

其中，$\zeta$ 表示阻尼比，$M_p$ 表示峰值时间的百分之几。

由于阻尼比为1时，$\zeta$ 可以直接取1，代入公式中，可得：

$$\omega_n = \frac{\pi}{t_p\sqrt{1-\zeta^2}}$$

其中，$\omega_n$ 表示系统的自然频率，$t_p$ 表示系统的峰值时间。

知道了 $\omega_n$ 和 $\zeta$，我们就可以求得系统的闭环极点：

$$s = -\zeta \omega_n + j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$

其中，$j$ 表示虚数单位。