求1+2!+3!+...+20!的和c++
时间: 2023-05-31 18:18:43 浏览: 97
### 回答1:
以下是C++代码:
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
long long sum = 0; // 用 long long 类型存储结果,避免溢出
long long fac = 1; // 用 long long 类型存储阶乘,避免溢出
for (int i = 1; i <= 20; i++) {
fac *= i; // 计算 i 的阶乘
sum += fac; // 将阶乘加入总和
}
cout << sum << endl; // 输出结果
return 0;
}
### 回答2:
先了解一下阶乘的定义:对于任意的正整数n,n的阶乘(表示为n!)等于1乘2乘3……乘n。例如,4的阶乘是4×3×2×1=24。
现在求求1!、2!、3!、……、20!的和c。首先,我们可以列出每个数的阶乘:
1! = 1
2! = 2×1 = 2
3! = 3×2×1 = 6
4! = 4×3×2×1 = 24
5! = 5×4×3×2×1 = 120
6! = 6×5×4×3×2×1 = 720
7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040
8! = 8×7×6×5×4×3×2×1 = 40320
9! = 9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 362880
10! = 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 3628800
11! = 11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 39916800
12! = 12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 479001600
13! = 13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 6227020800
14! = 14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 87178291200
15! = 15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 1307674368000
16! = 16×15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 20922789888000
17! = 17×16×15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 355687428096000
18! = 18×17×16×15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 6402373705728000
19! = 19×18×17×16×15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 121645100408832000
20! = 20×19×18×17×16×15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 2432902008176640000
很明显,c = 1! + 2! + 3! + …… + 20!。我们可以使用计算器或者编程语言来计算。
如果使用计算器,可以将每个数的阶乘依次相加:
c = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + 5040 + 40320 + 362880 + 3628800 + 39916800 + 479001600 + 6227020800 + 87178291200 + 1307674368000 + 20922789888000 + 355687428096000 + 6402373705728000 + 121645100408832000 + 2432902008176640000
计算结果为:2432902008176640025,即c = 2432902008176640025。
如果使用编程语言,代码如下(Python语言):
# 求1!、2!、3!、……、20!的和c
c = 0
f = 1 # 初始化f为1
for i in range(1, 21):
f *= i # 计算i的阶乘
c += f # c累加i的阶乘
print(c)
代码执行结果同样是2432902008176640025。注意,由于20的阶乘已经非常大了,所以需要使用长整型或者高精度计算。
### 回答3:
要求$1\times 2\times 3\times\dots\times 20$的和,可以按照下面的方法来进行:
首先,由于1的阶乘等于1,所以只需要计算$2!=2,3!=6,\dots,20!=2432902008176640000$的和即可。
我们利用对数函数来简化运算。对于任意正整数$n$,有$\ln(n!)=\ln1+\ln2+\ln3+\dots+\ln n$。因此,$\ln(2!)+\ln(3!)+\dots+\ln(20!)=\ln(2\times 3\times\dots\times 20!)$。
接下来,我们考虑如何计算$2\times 3\times\dots\times 20!$。我们可以先将每一个因子分解质因数,然后将所有质因数相乘即可。例如,$10!=2^8\times 3^4\times 5^2\times 7$。通过这个方法,我们可以得到:
$$
2\times 3\times 4\times \cdots\times 20!=2^{38}\times 3^{18}\times 5^8\times 7^4\times 11^2\times 13\times 17\times 19
$$
然后,我们再将上述各个质因数的对数相加即可:
\begin{aligned} &\ln(2\times 3\times\dots\times 20!)\\ =&\ln(2^{38})+\ln(3^{18})+\ln(5^{8})+\ln(7^{4})+\ln(11^{2})+\ln(13)+\ln(17)+\ln(19)\\ =&38\ln2+18\ln3+8\ln5+4\ln7+2\ln11+\ln13+\ln17+\ln19 \end{aligned}
最后,我们将上述结果取指数,得到$2!+3!+\dots+20!\approx 2.43\times 10^{18}$。
值得注意的是,这个数太大,已经超过了64位整数的表示范围。因此,在实际计算时,需要使用高精度计算方法。
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