利用势能函数的斥力和引力对非支配解集进行优化，构建好势能函数后通过计算梯度来实现优化。请用数学公式描述详细步骤

利用势能函数的斥力和引力对非支配解集进行优化的过程中，可以通过计算梯度来实现优化。具体步骤如下：

1. 构建势能函数 $E$，其中包括解之间的斥力和解到非支配解的引力。可以使用前面提到的势能函数公式。

2. 对势能函数 $E$ 求导，得到梯度 $\nabla E$。具体来说，对势能函数中的每一个变量求偏导数，然后将这些偏导数组合成一个向量，就得到了梯度向量。

3. 利用求得的梯度向量 $\nabla E$，通过梯度下降等优化算法来更新解的位置。具体来说，可以按照以下公式进行更新：

$$
x_i^{(t+1)} = x_i^{(t)} - \alpha \nabla E(x_i^{(t)})
$$

其中，$x_i^{(t)}$ 表示第 $i$ 个解在第 $t$ 个迭代中的位置，$\alpha$ 是学习率，控制每次更新的步长。通过不断迭代更新，可以逐步找到势能函数的最小值点，即一组近似的非支配解集合。

需要注意的是，计算势能函数的梯度可能比较复杂，因此常常需要使用数值方法来进行近似计算。例如，可以使用有限差分法、自适应数值积分等技术来计算梯度。此外，在使用梯度下降等优化算法时，也需要注意学习率的设置，过大或过小的学习率都可能导致优化效果不佳。