python 快速幂算法求 n^e mod N

快速幂算法（也称为 exponentiation by squaring 或者 binary method）是一种高效计算大整数乘方模运算的技术，特别适用于求解 \(n^{e} \mod N\) 这样的数学问题，其中 \(e\) 是指数，\(n\) 和 \(N\) 都是正整数，特别是当 \(e\) 很大时。它的基本思想是利用指数的二进制表示，将复杂的问题分解成一系列简单的计算。

以下是 Python 中使用快速幂算法的基本步骤：

def fast_pow(n, e, m):
    result = 1  # 初始化结果为1
    base = n % m  # 取模操作保证效率

    while e > 0:  # 当指数大于0时继续循环
        if e & 1:  # 如果指数的最低位是1
            result *= base  # 将当前结果乘以底数
            result %= m  # 更新结果并取模
        e >>= 1  # 左移一位，相当于除以2
        base *= base  # 底数平方
        base %= m  # 再次取模

    return result  # 返回最终结果

在这个函数中，`&` 表示按位与操作，`>>=` 表示右移并赋值。通过这种方法，我们可以显著减少实际相乘的次数，因为每次迭代都会让指数减半，从而使得计算量大大降低。

相关问题

设计算法求解a^n mod m

可以使用快速幂算法来求解a^n mod m，该算法的时间复杂度为O(log n)。

具体算法步骤如下：

1. 将n转化为二进制数。

2. 从最低位开始，将a逐步平方，如果当前二进制位为1，则乘上a。

3. 对每次乘积都取模，即(a * a) % m，如果当前二进制位为1，则再乘上a并取模，即((a * a) % m * a) % m。

4. 最终的结果即为a^n mod m。

下面是使用Python实现的快速幂算法代码：

def quick_pow(a, n, m):
    res = 1
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            res = (res * a) % m
        a = (a * a) % m
        n //= 2
    return res

其中，a为底数，n为指数，m为模数。

python实现快速模幂算法

快速模幂算法也称为快速幂算法，是一种用于计算大数的指数幂余数的算法。它的主要思想是将指数分解成二进制形式，并利用幂的平方性质以及模运算的余数性质来降低时间复杂度。

下面是 Python 实现快速模幂算法的代码：

def fast_modular_exponentiation(base, exp, mod):
    result = 1
    base = base % mod
    while exp > 0:
        if exp % 2 == 1:
            result = (result * base) % mod
        exp = exp // 2
        base = (base * base) % mod
    return result

该函数接受三个参数：底数 `base`、指数 `exp` 和模数 `mod`。它返回的是 `base` 的 `exp` 次幂对 `mod` 取模的结果。

该算法的时间复杂度为 $O(\log_2 n)$，其中 $n$ 是指数 `exp` 的位数。因此，它可以处理非常大的指数和模数，而且效率非常高。