考虑优化问题 min (x,y)∈R2 f(x) = (x − 1)2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.
时间: 2024-05-20 15:11:33 浏览: 9
首先,列出拉格朗日函数:
$$
L(x,y,\lambda,\mu) = (x-1)^2 + (y-2) + \lambda(y-x-1) + \mu(x+y-2)
$$
其中,$\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。接下来,我们列出 KKT 条件:
1. $\nabla f(x,y) + \lambda \nabla h(x,y) + \mu \nabla g(x,y) = 0$
2. $h(x,y) = 0$
3. $g(x,y) \leq 0$
4. $\mu \geq 0$
5. $\mu g(x,y) = 0$
将目标函数、约束条件和拉格朗日函数求偏导数,得到以下方程组:
$$
\begin{cases}
2(x-1) - \lambda + \mu = 0 \\
1 + \lambda - \mu = 0 \\
\lambda (y-x-1) = 0 \\
\mu (x+y-2) = 0 \\
x+y-2 \leq 0 \\
\mu \geq 0
\end{cases}
$$
根据第三个式子,$\lambda$ 可以是 $0$,也可以是 $y-x-1=0$。当 $\lambda = 0$ 时,由第一个式子可知 $x=1$,代入第二个式子得到 $y=2$。因此,$(1,2,0,0)$ 是一个满足 KKT 条件的点。
当 $\lambda = y-x-1=0$ 时,联立第一、二个式子,得到 $x = \frac{3}{2}, y = \frac{5}{2}$,代入 $g(x,y) = x+y-2$ 得到 $g(\frac{3}{2},\frac{5}{2}) = \frac{1}{2} > 0$,不满足约束条件,因此这个情况下没有满足 KKT 条件的点。
接下来,我们需要验证 $(1,2,0,0)$ 是否是局部极小值点。由于目标函数是凸函数,因此只需要验证 Hessian 矩阵在该点是否半正定。具体地,我们需要计算 Hessian 矩阵:
$$
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 L}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 L}{\partial x\partial y} \\
\frac{\partial^2 L}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^2 L}{\partial y^2} \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2+\mu & -1+\lambda \\
-1+\lambda & 2 \\
\end{bmatrix}
$$
代入 $(1,2,0,0)$,得到:
$$
H = \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2 \\
\end{bmatrix}
$$
计算该矩阵的特征值,得到 $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$,均为正数,因此 Hessian 矩阵在 $(1,2)$ 处半正定。综上所述,$(1,2)$ 是一个局部极小值点。
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