考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.
时间: 2024-05-23 14:11:03 浏览: 24
首先列出拉格朗日函数:
$$
\mathcal{L}(x, y, \lambda_1, \lambda_2) = (x - 1)^2 + y - 2 + \lambda_1(y - x - 1) + \lambda_2(x + y - 2)
$$
然后根据 KKT 条件,我们有:
1. 原问题的可行性条件为:$h(x) = y - x - 1 = 0, g(x) = x + y - 2 \leq 0$。
2. 拉格朗日函数的一阶必要条件为:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} &= 2(x - 1) + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} &= 1 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda_1} &= y - x - 1 = 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda_2} &= x + y - 2 \leq 0 \\
\lambda_2 &\geq 0 \\
\lambda_2(x + y - 2) &= 0
\end{aligned}
$$
3. KKT 条件为:
$$
\begin{aligned}
g(x) &= x + y - 2 \leq 0 \\
\lambda_2 &\geq 0 \\
\lambda_2(x + y - 2) &= 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} &= 2(x - 1) + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} &= 1 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\
h(x) &= y - x - 1 = 0
\end{aligned}
$$
根据上述条件,我们可以得到:
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= -3 \\
\lambda_2 &= 0 \\
x &= \frac{7}{3} \\
y &= \frac{4}{3}
\end{aligned}
$$
接下来,我们使用二阶条件来验证这个点是否为局部极小值点。首先,我们计算 Hessian 矩阵:
$$
\begin{bmatrix}
\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial x^2} & \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial x\partial y}\\
\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 + \lambda_2 & 1 + \lambda_1 + \lambda_2 \\
1 + \lambda_1 + \lambda_2 & 1 + \lambda_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & -2 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
$$
然后,我们计算 Hessian 矩阵在该点的值:
$$
\begin{bmatrix}
2 & -2 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
\bigg\rvert_{(x, y) = (\frac{7}{3}, \frac{4}{3})}
=
\begin{bmatrix}
2 & -2 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
$$
由于该 Hessian 矩阵的所有特征值都是正的,因此该点是局部极小值点。
综上,$\big(\frac{7}{3}, \frac{4}{3}\big)$ 是原问题的局部极小值点,并且满足 KKT 条件。
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