一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半；n次落地经过路线总长度和下次反弹的高度。

### 回答1：
一球从100米高度自由落下，每次落地后反弹回原高度的一半。经过n次落地，总共经过的路线长度为100 + 100/2 + 100/2^2 + ... + 100/2^(n-1)米。下次反弹的高度为100/2^n米。

### 回答2：
这是一个经典的弹球问题。假设这个球从100米高度自由落下，第一次落地后反弹到原高度的一半，即50米。下一次从50米的高度自由落下，第二次落地后反弹到原高度的一半，即25米。以此类推，球将在第n次落地后反弹到原高度的1/2^n。

我们可以将球在每次反弹前的路线分解为两段，一段是下降的路程，一段是上升的路程。第一次落地前，球下降的路程是100米，上升的路程是50米，总路程为150米。第二次落地前，球下降的路程是50米，上升的路程是25米，总路程为75米。以此类推，第n次落地前，球下降的路程为100/2^n米，上升的路程为50/2^(n-1)米，总路程为150/2^(n-1)米。

要求球在n次落地后经过的总路程，我们可以将球在每次落地前的总路程相加，即：

100米 + 150米 + 75米 + … + 150/2^(n-1)米

这是一个等比数列求和的问题，可以使用公式S=a(1-r^n)/(1-r)来求解，其中a为首项，r为公比。首项a=100米，公比r=1/2，一共有n项，因此总路程为：

S = 100(1-1/2^n)/(1-1/2)
= 200(1-1/2^n)
= 200-100/2^(n-1)

要求球在第n次落地后反弹的高度，我们可以直接将原高度的1/2^n乘以上一次的高度，即：

原高度的1/2^n × 上一次的高度

第一次落地后，球反弹到50米的高度；第二次落地后，球反弹到25米的高度；以此类推，第n次落地后，球反弹到的高度为：

100/2^n × (1/2)^(n-1)米

化简可得：

50/2^n 米

综上所述，球在n次落地后经过的总路程为200-100/2^(n-1)米，球在第n次落地后反弹的高度为50/2^n米。

### 回答3：
当一球从100米高度自由落下时，每次落地后会反弹回原高度的一半，也就是50米。那么球第一次反弹的高度是50米，第二次反弹的高度是25米，第三次反弹的高度是12.5米，以此类推。

在第 n 次落地后，球共经过了多少路程呢？要求出球在第 n 次落地时经过的路程总长度，可以根据以下的计算方法：

第一次落地时，球的路程是 100 米。

第二次落地时，球的路程是 100 + 50 × 2 = 200 米。

第三次落地时，球的路程是 100 + 50 × 2 + 25 × 2 = 275 米。

第四次落地时，球的路程是 100 + 50 × 2 + 25 × 2 + 12.5 × 2 = 337.5 米。

以此类推，可得出第 n 次落地时球的路程是：

s(n) = 100 + 50 × 2 + 25 × 2 + 12.5 × 2 + … + 100/2^(n-1) × 2

因此，经过 n 次落地后球的总路程是：

S = s(1) + s(2) + s(3) + … + s(n)

下面来证明一下这个公式的正确性：

s(1) = 100

s(2) = 100 + 50 × 2 = 200

s(3) = 100 + 50 × 2 + 25 × 2 = 275

s(4) = 100 + 50 × 2 + 25 × 2 + 12.5 × 2 = 337.5

s(n) = 100 + 50 × 2 + 25 × 2 + … + 100/2^(n-1) × 2

将上述公式代入总路程公式，可得：

S = s(1) + s(2) + s(3) + … + s(n)

= 100 + (100 + 50 × 2) + (100 + 50 × 2 + 25 × 2) + … + [100 + 50 × 2 + 25 × 2 + … + 100/2^(n-1) × 2]

下面观察上述式子中括号里面的部分，它可以写成：

100/2^(n-1) × (1 + 2 + 2^2 + … + 2^(n-2) + 2^(n-1))

为了进一步简化，我们可以将 (1 + 2 + 2^2 + … + 2^(n-2) + 2^(n-1)) 看作是一个等比数列的和：

1 + 2 + 2^2 + … + 2^(n-1) = 2^n - 1

带入上式，得到：

S = 100 + (100 + 50 × 2) + (100 + 50 × 2 + 25 × 2) + … + 100/2^(n-2) × (2^(n-1) + 2^n - 2) + 100/2^(n-1) × (2^n - 1)

将式子变形为：

S = 100 × n + 100/2^(n-1) × (2^n - 1) + 50/2^(n-2) × (2^(n-1) - 1) + 25/2^(n-3) × (2^(n-2) - 1) + … + 100/2 × (2^2 - 1)

这个式子可以进一步简化，但已经说明了总路程的计算公式正确性。

综上所述，当一球从100米高度自由落下时，每次落地后反弹回原高度的一半，球在第 n 次落地时经过的路程总长度为：

S = 100 × n + 100/2^(n-1) × (2^n - 1) + 50/2^(n-2) × (2^(n-1) - 1) + 25/2^(n-3) × (2^(n-2) - 1) + … + 100/2 × (2^2 - 1)