如何证明矩阵值函数G(s)在|z|<1是解析的
时间: 2023-12-06 20:43:17 浏览: 39
要证明矩阵值函数 $G(s)$ 在 $|z|<1$ 是解析的,需要证明 $G(s)$ 在该区域内满足柯西-黎曼方程,即:
$$
\frac{\partial G}{\partial s_1} = \frac{\partial G}{\partial s_2} i
$$
其中 $s_1$ 和 $s_2$ 分别表示 $s$ 的实部和虚部。
假设 $G(s)$ 是一个 $n \times n$ 大小的矩阵。我们可以将其分解为实部和虚部的形式:
$$
G(s) = U(s) + iV(s)
$$
其中 $U(s)$ 和 $V(s)$ 分别表示 $G(s)$ 的实部和虚部矩阵。
现在,我们对 $\frac{\partial G}{\partial s_1}$ 和 $\frac{\partial G}{\partial s_2}$ 进行求导,得到:
$$
\frac{\partial G}{\partial s_1} = \frac{\partial U}{\partial s_1} + i\frac{\partial V}{\partial s_1}
$$
$$
\frac{\partial G}{\partial s_2} = \frac{\partial U}{\partial s_2} + i\frac{\partial V}{\partial s_2}
$$
现在,我们需要证明 $\frac{\partial U}{\partial s_1} = \frac{\partial V}{\partial s_2}$ 和 $\frac{\partial U}{\partial s_2} = -\frac{\partial V}{\partial s_1}$。我们可以通过对 $G(s)$ 进行偏导数的计算来验证这一点。
假设 $G(s)$ 在 $|z|<1$ 内是解析的。因此,$U(s)$ 和 $V(s)$ 在该区域内也是解析的。根据柯西-黎曼方程,我们得到:
$$
\frac{\partial U}{\partial s_1} = \frac{\partial V}{\partial s_2}
$$
$$
\frac{\partial U}{\partial s_2} = -\frac{\partial V}{\partial s_1}
$$
因此,矩阵值函数 $G(s)$ 在 $|z|<1$ 内是解析的。
需要注意的是,矩阵值函数的解析性质与标量值函数的解析性质不同。在标量值函数的情况下,柯西-黎曼方程只有一个方程,因为标量只有一个实部和一个虚部。但在矩阵值函数的情况下,每个矩阵元素都有实部和虚部,因此柯西-黎曼方程有多个方程。