设A={1,2,3},关系 R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3, 1二,<3,2-,<3,3二1,证明R为A上偏序关系•
时间: 2024-05-23 22:13:55 浏览: 17
为证明关系 R 为 A 上偏序关系,需要证明它满足以下三个条件:
1. 反自反性:对于任意的 a∈A,都有(a,a)∉R。
反证法证明:假设存在 a∈A,使得(a,a)∈R。根据 R 的定义可知,只有当 a=b 且(b,b)∈R 时,才有(a,b)∈R,因此(a,a)∉R,与假设矛盾。
2. 反对称性:对于任意的 a,b∈A,如果(a,b)∈R 且(b,a)∈R,则a=b。
反证法证明:假设存在 a,b∈A,且(a,b)∈R 且(b,a)∈R,但 a≠b。根据 R 的定义可知,只有当 a=b 且(b,b)∈R 时,才有(a,b)∈R。因此,如果(a,b)∈R 且(b,a)∈R,则必须有 a=b,与假设矛盾。
3. 传递性:对于任意的 a,b,c∈A,如果(a,b)∈R 且(b,c)∈R,则(a,c)∈R。
证明:根据 R 的定义可知,如果(a,b)∈R 且(b,c)∈R,则必须存在一个元素 b∈A,使得(a,b)∈R 且(b,c)∈R。又因为 R 中每个元素的第二个分量都不相同,所以只有可能有三种情况:
- b=1,此时(a,c)∈R;
- b=2,此时(a,c)∈R;
- b=3,此时(a,c)∈R。
因此,对于任意的 a,b,c∈A,如果(a,b)∈R 且(b,c)∈R,则(a,c)∈R。
综上所述,关系 R 为 A 上偏序关系。
相关问题
设A=(12,33,关系R=(<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3,2>,<3,3>,证明R为A上偏序关系
要证明关系R为A上的偏序关系,需要满足以下三个条件:
1. 反自反性:对于任意的a∈A,都有(a, a)∉R。
2. 非对称性:对于任意的a, b∈A,如果(a, b)∈R,则(b, a)∉R。
3. 传递性:对于任意的a, b, c∈A,如果(a, b)∈R且(b, c)∈R,则(a, c)∈R。
现在我们逐一证明上述条件:
1. 反自反性:对于A中任意元素a=(12,33),有(a, a)∉R,因为R中并没有形如(<a,a>)的有序对。
2. 非对称性:对于任意的a, b∈A,如果(a, b)∈R,则(a,b)的形式只有可能是以下几种情况:<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3,2>,<3,3>。而在R中并没有(<1,1>,<2,1>)、(<2,1>,<1,1>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<1,1>)、(<3,2>,<1,1>)、(<3,3>,<1,1>)、(<2,2>,<2,1>)、(<3,1>,<2,1>)、(<3,2>,<2,1>)、(<3,3>,<2,1>)、(<3,3>,<2,2>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<1,1>,<3,1>)、(<1,1>,<3,2>)、(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,1>)、(<2,1>,<3,2>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,1>)、(<2,2>,<3,2>)、(<2,2>,<3,3>)、(<3,1>,<3,2>)、(<3,2>,<3,1>)、(<3,1>,<3,3>)、(<3,3>,<3,1>)、(<3,2>,<3,3>)、(<3,3>,<3,2>)这30种情况,因此可以得出结论:如果(a, b)∈R,则(b, a)∉R。
3. 传递性:对于任意的a, b, c∈A,如果(a, b)∈R且(b, c)∈R,则(a, c)∈R。我们可以通过分类讨论来证明:
- 当(b, c)=(1, 1)时,由于R中没有形如(<1,1>,<2,1>)、(<2,1>,<1,1>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<1,1>)、(<3,2>,<1,1>)、(<3,3>,<1,1>)、(<2,2>,<2,1>)、(<3,1>,<2,1>)、(<3,2>,<2,1>)、(<3,3>,<2,1>)、(<3,3>,<2,2>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<1,1>,<3,1>)、(<1,1>,<3,2>)、(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,1>)、(<2,1>,<3,2>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,1>)、(<2,2>,<3,2>)、(<2,2>,<3,3>)、(<3,1>,<3,2>)、(<3,2>,<3,1>)、(<3,1>,<3,3>)、(<3,3>,<3,1>)、(<3,2>,<3,3>)、(<3,3>,<3,2>)这30种情况,所以(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(1, 2)时,由于R中存在(<1,1>,<2,1>)和(<2,1>,<2,2>),因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(1, 3)时,由于R中存在(<1,1>,<3,1>)和(<3,1>,<3,3>),因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(2, 2)时,由于R中没有形如(<1,1>,<2,2>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<3,3>,<2,2>)这5种情况,所以(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(2, 3)时,由于R中存在(<2,1>,<3,1>)和(<3,1>,<3,3>),因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(3, 3)时,由于R中不存在(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,3>)这3种情况,所以(a, c)∈R。
综上所述,关系R为A上的偏序关系。
设A=(1,2,3)关系R=(<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3,2>,<3,3>,证明R为A上偏序关系
为了证明关系R为A上偏序关系,需要证明它满足以下三个条件:
1. 自反性:对于任意的a∈A,(a,a)∈R。
显然,对于A中的所有元素,都有(a,a)∈R,因为R包含了所有元素与它本身的关系。
2. 反对称性:对于任意的a,b∈A,如果(a,b)∈R且(b,a)∈R,则a=b。
考虑任意的a,b∈A,如果(a,b)∈R且(b,a)∈R,那么根据R的定义,有(a,b)与(b,a)都属于R。根据集合的定义,对于(a,b)和(b,a)只可能有两种情况:a=b或者a≠b。如果a=b,则显然满足反对称性;如果a≠b,则由于R中存在(a,b)与(b,a),而a≠b,所以R不满足反对称性。因此,只有a=b时,R才满足反对称性。
3. 传递性:对于任意的a,b,c∈A,如果(a,b)∈R且(b,c)∈R,则(a,c)∈R。
考虑任意的a,b,c∈A,如果(a,b)∈R且(b,c)∈R,那么根据R的定义,有(a,b)与(b,c)都属于R。根据集合的定义,对于(a,b)和(b,c)只可能有两种情况:a≤b或者a>b,b≤c或者b>c。如果a≤b且b≤c,则根据传递性可得a≤c,因此(a,c)∈R,R满足传递性。否则,如果a>b或者b>c,则无法得出(a,c)∈R,因此R不满足传递性。
由上述三个条件可知,关系R满足自反性、反对称性和传递性,因此R为A上偏序关系。
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