设A = {1, 2, 3, 4}, R = { <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 2> }是A上的关系，试写出R的关系矩阵并画出关系图。

首先，关系矩阵的大小为 |A| × |A|，即4 × 4。而R的关系矩阵可以表示为：

  1  2  3  4
1 0  1  1  0
2 1  1  0  1
3 0  0  0  1
4 0  1  0  0

其中，如果元素R(i,j)在R中，则在关系矩阵中对应位置标记为1，否则标记为0。例如，R(1,2)和R(1,3)在R中出现，因此关系矩阵中第1行第2列和第1行第3列都为1。

其次，关系图可以根据关系矩阵来绘制。将A中的元素用圆圈表示，如果R(i,j)在R中，则在圆圈i和圆圈j之间连一条线表示这两个元素之间存在关系。根据上面的关系矩阵，R的关系图可以画出来：

    1 --- 2 --- 4
          |
          v
          3

其中，圆圈1、2、3、4分别表示A中的元素1、2、3、4，箭头表示存在关系。

相关问题

设A={1，2，3}，判断下列A上的二元关系各具有什么性质，（1）R1={<1,1>,<1,2>,<3,1>,<3,2>} （2）R2={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,3>}

对于二元关系R，常见的性质有自反性、对称性、反对称性和传递性。

(1) R1={<1,1>,<1,2>,<3,1>,<3,2>}

- 自反性：对于任意的a∈A，都有(a,a)∈R1，即R1是自反的。
- 对称性：对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R1，则(b,a)∈R1，因此R1是对称的。
- 反对称性：对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R1且(b,a)∈R1，则a=b，因此R1是反对称的。
- 传递性：对于任意的a,b,c∈A，若(a,b)∈R1且(b,c)∈R1，则(a,c)∈R1，因此R1是传递的。

综上所述，R1是自反的、对称的、传递的，但不是反对称的。

(2) R2={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,3>}

- 自反性：对于任意的a∈A，都有(a,a)∈R2，即R2是自反的。
- 对称性：对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R2，则(b,a)∈R2，因此R2是对称的。
- 反对称性：对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R2且(b,a)∈R2，则a=b，因此R2是反对称的。
- 传递性：对于任意的a,b,c∈A，若(a,b)∈R2且(b,c)∈R2，则(a,c)∈R2，因此R2是传递的。

综上所述，R2是自反的、对称的、反对称的、传递的，因此R2是等价关系。

设A=(1，2，3）关系R=(<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3，2＞,<3，3＞，证明R为A上偏序关系

为了证明关系R为A上偏序关系，需要证明它满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意的a∈A，(a,a)∈R。

显然，对于A中的所有元素，都有(a,a)∈R，因为R包含了所有元素与它本身的关系。

2. 反对称性：对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R且(b,a)∈R，则a=b。

考虑任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R且(b,a)∈R，那么根据R的定义，有(a,b)与(b,a)都属于R。根据集合的定义，对于(a,b)和(b,a)只可能有两种情况：a=b或者a≠b。如果a=b，则显然满足反对称性；如果a≠b，则由于R中存在(a,b)与(b,a)，而a≠b，所以R不满足反对称性。因此，只有a=b时，R才满足反对称性。

3. 传递性：对于任意的a,b,c∈A，如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，则(a,c)∈R。

考虑任意的a,b,c∈A，如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，那么根据R的定义，有(a,b)与(b,c)都属于R。根据集合的定义，对于(a,b)和(b,c)只可能有两种情况：a≤b或者a>b，b≤c或者b>c。如果a≤b且b≤c，则根据传递性可得a≤c，因此(a,c)∈R，R满足传递性。否则，如果a>b或者b>c，则无法得出(a,c)∈R，因此R不满足传递性。

由上述三个条件可知，关系R满足自反性、反对称性和传递性，因此R为A上偏序关系。