设A = {1, 2, 3, 4}, R = { <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 2> }是A上的关系,试写出R的关系矩阵并画出关系图。
时间: 2024-03-26 12:40:39 浏览: 56
首先,关系矩阵的大小为 |A| × |A|,即4 × 4。而R的关系矩阵可以表示为:
```
1 2 3 4
1 0 1 1 0
2 1 1 0 1
3 0 0 0 1
4 0 1 0 0
```
其中,如果元素R(i,j)在R中,则在关系矩阵中对应位置标记为1,否则标记为0。例如,R(1,2)和R(1,3)在R中出现,因此关系矩阵中第1行第2列和第1行第3列都为1。
其次,关系图可以根据关系矩阵来绘制。将A中的元素用圆圈表示,如果R(i,j)在R中,则在圆圈i和圆圈j之间连一条线表示这两个元素之间存在关系。根据上面的关系矩阵,R的关系图可以画出来:
```
1 --- 2 --- 4
|
v
3
```
其中,圆圈1、2、3、4分别表示A中的元素1、2、3、4,箭头表示存在关系。
相关问题
设A=(12,33,关系R=(<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3,2>,<3,3>,证明R为A上偏序关系
要证明关系R为A上的偏序关系,需要满足以下三个条件:
1. 反自反性:对于任意的a∈A,都有(a, a)∉R。
2. 非对称性:对于任意的a, b∈A,如果(a, b)∈R,则(b, a)∉R。
3. 传递性:对于任意的a, b, c∈A,如果(a, b)∈R且(b, c)∈R,则(a, c)∈R。
现在我们逐一证明上述条件:
1. 反自反性:对于A中任意元素a=(12,33),有(a, a)∉R,因为R中并没有形如(<a,a>)的有序对。
2. 非对称性:对于任意的a, b∈A,如果(a, b)∈R,则(a,b)的形式只有可能是以下几种情况:<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3,2>,<3,3>。而在R中并没有(<1,1>,<2,1>)、(<2,1>,<1,1>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<1,1>)、(<3,2>,<1,1>)、(<3,3>,<1,1>)、(<2,2>,<2,1>)、(<3,1>,<2,1>)、(<3,2>,<2,1>)、(<3,3>,<2,1>)、(<3,3>,<2,2>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<1,1>,<3,1>)、(<1,1>,<3,2>)、(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,1>)、(<2,1>,<3,2>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,1>)、(<2,2>,<3,2>)、(<2,2>,<3,3>)、(<3,1>,<3,2>)、(<3,2>,<3,1>)、(<3,1>,<3,3>)、(<3,3>,<3,1>)、(<3,2>,<3,3>)、(<3,3>,<3,2>)这30种情况,因此可以得出结论:如果(a, b)∈R,则(b, a)∉R。
3. 传递性:对于任意的a, b, c∈A,如果(a, b)∈R且(b, c)∈R,则(a, c)∈R。我们可以通过分类讨论来证明:
- 当(b, c)=(1, 1)时,由于R中没有形如(<1,1>,<2,1>)、(<2,1>,<1,1>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<1,1>)、(<3,2>,<1,1>)、(<3,3>,<1,1>)、(<2,2>,<2,1>)、(<3,1>,<2,1>)、(<3,2>,<2,1>)、(<3,3>,<2,1>)、(<3,3>,<2,2>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<1,1>,<3,1>)、(<1,1>,<3,2>)、(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,1>)、(<2,1>,<3,2>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,1>)、(<2,2>,<3,2>)、(<2,2>,<3,3>)、(<3,1>,<3,2>)、(<3,2>,<3,1>)、(<3,1>,<3,3>)、(<3,3>,<3,1>)、(<3,2>,<3,3>)、(<3,3>,<3,2>)这30种情况,所以(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(1, 2)时,由于R中存在(<1,1>,<2,1>)和(<2,1>,<2,2>),因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(1, 3)时,由于R中存在(<1,1>,<3,1>)和(<3,1>,<3,3>),因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(2, 2)时,由于R中没有形如(<1,1>,<2,2>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<3,3>,<2,2>)这5种情况,所以(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(2, 3)时,由于R中存在(<2,1>,<3,1>)和(<3,1>,<3,3>),因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(3, 3)时,由于R中不存在(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,3>)这3种情况,所以(a, c)∈R。
综上所述,关系R为A上的偏序关系。
设 R =<<1,1>,<1,2>,<4,3>}, S =<<1,4>,<2,3>,<4,2>,<3,2>},则 RoS =,要求给出结果
RoS 表示 R 和 S 的关系合成,即 R 中的每个元素与 S 中的每个元素进行组合,得到新的有序对。若 R 中的有序对为 <a, b>,S 中的有序对为 <c, d>,则 RoS 中的有序对为 <a, d>,当且仅当 b = c。
因此,我们可以先列出 RoS 中的元素:<1, 2>, <1, 3>, <4, 2>。
注意,<1, 4> 和 <4, 3> 无法进行组合,因为它们中间没有共同的元素。
因此,RoS = <<1, 2>, <1, 3>, <4, 2>>。
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