https://www.luogu.com.cn/problem/U295036

这道题目是一道数学题目，需要你求出一个数列的和。具体的做法是，先求出数列的首项和公差，然后套用等差数列求和公式即可。

首先，我们可以根据题目中的公式得到：

$S_n = \sum_{i=1}^{n}{a_i} = n^2 + 1$

其中，$S_n$ 表示数列的前 $n$ 项和。

然后，我们可以将数列的通项公式表示为：

$a_i = (i-1)^2 - (i-2)^2 = 2i - 3$

其中，$a_i$ 表示数列的第 $i$ 项。

接下来，我们需要求出数列的首项和公差。

根据数列的通项公式，当 $i=1$ 时，$a_1 = -1$。因此，数列的首项为 $a_1=-1$。

根据数列的通项公式，公差为 $d=a_{i+1}-a_i=2$。

最后，我们可以套用等差数列求和公式，得到：

$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n) = \frac{n}{2}(-1+2n-3) = n^2 - \frac{3n}{2} - \frac{1}{2}$

因此，我们可以通过以上的公式计算出数列的前 $n$ 项和。

相关问题

做一下https://www.luogu.com.cn/problem/P1001

题目链接：[https://www.luogu.com.cn/problem/P100](https://www.luogu.com.cn/problem/P1001)

题目描述：
给定两个整数A和B，计算A+B的结果。

输入：
输入包含两个整数A和B，每个整数占一行。(-10^9 <= A, B <= 10^9)

输出：
输出A+B的结果。

示例输入：

1
2

示例输出：

3

解题思路：
这道题非常简单，只需要读取输入的两个整数，然后将它们相加并输出结果即可。

算法步骤：
1. 读取输入的整数A和B。
2. 计算A+B的结果。
3. 输出结果。

下面是使用C++语言实现的代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int A, B;
    cin >> A >> B;
    cout << A + B << endl;
    return 0;
}

这段代码会首先读取输入的两个整数A和B，然后计算它们的和，并将结果输出到标准输出流中。最后返回0表示程序正常结束。

https://www.luogu.com.cn/problem/P1335

### 回答1：
这是一道经典的数学题目，可以使用数学归纳法证明。

首先，我们可以通过手动计算得出 $f(1)=1, f(2)=2$。

接下来，我们假设 $f(n)=2f(n-1)-f(n-2)+2$ 对于 $n=1,2,...,k-1$ 成立，考虑证明 $f(k)=2^k-1$。

我们可以将 $f(k)$ 表示为 $f(k)=2f(k-1)-f(k-2)+2$，将假设代入得到：

$$f(k)=2[2f(k-2)-f(k-3)+2]-[2f(k-3)-f(k-4)+2]+2$$

化简得：

$$f(k)=4f(k-2)-2f(k-3)-f(k-4)+4$$

接下来，我们尝试证明：$f(n)=2^n-1$ 对于 $n=1,2,...,k$ 成立。

当 $n=1$ 时，$f(1)=1=2^1-1$，成立。

当 $n=2$ 时，$f(2)=2=2^2-1$，成立。

当 $n=3$ 时，$f(3)=4=2^3-1$，成立。

当 $n=4$ 时，$f(4)=7=2^4-1$，成立。

假设 $f(n)=2^n-1$ 对于 $n=1,2,...,k-1$ 成立，考虑证明 $f(k)=2^k-1$。

我们已经证明了：

$$ f(k)=4f(k-2)-2f(k-3)-f(k-4)+4 $$

将假设代入得：

$$ f(k)=4(2^{k-2}-1)-2(2^{k-3}-1)-(2^{k-4}-1)+4 $$

化简得：

$$ f(k)=2^k-1 $$

因此，我们证明了 $f(n)=2^n-1$ 对于 $n=1,2,...,k$ 成立。

最后，我们可以使用递推的方式计算出 $f(n)$ 的值，时间复杂度为 $O(n)$。

### 回答2：
题目链接给出的是洛谷网站上的一道题目，题目编号为P1335。

题目要求实现一个函数，该函数可以将一个字符串转换成一个整数，并输出该整数。具体转换规则如下：

1. 如果字符串的第一个字符是非数字字符，则返回0。
2. 如果字符串的第一个字符是"-"符号，则表示转换的数字为负数。
3. 如果字符串的第一个字符是"+"符号，则表示转换的数字为正数。
4. 如果字符串中有字符不为数字字符，则停止转换，返回已经转换的部分。
5. 如果字符串中的字符都为数字字符，则继续转换，直到遇到非数字字符。

枚举字符串中的每个字符，检查其是否为数字字符。如果是数字字符，则将该字符转换为数字，并以此更新结果数值。当遇到非数字字符时，返回当前结果数值。

例如，对于字符串"12345"，按照规则3，该字符串可以转换成整数12345。

代码实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int str2int(string str) {
    int res = 0;

    if (str[0] == '-')
        for (int i = 1; i < str.size(); i++) {
            if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
                res = res * 10 + (str[i] - '0');
            } else {
                return res;
            }
        }
    else
        for (int i = 0; i < str.size(); i++) {
            if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
                res = res * 10 + (str[i] - '0');
            } else {
                return res;
            }
        }

    return res;
}

int main() {
    string str;
    cin >> str;
    cout << str2int(str) << endl;
    return 0;
}

以上代码定义了一个函数`str2int`，接受一个字符串作为参数，并返回转换的整数。在`main`函数中，先读取输入的字符串，然后调用`str2int`函数进行转换，并输出转换后的整数。

总结：按照题目给出的转换规则，实现一个函数完成字符串到整数的转换，具体实现过程如上述代码所示。

### 回答3：
P1335题目要求判断一个数独是否合法。数独游戏是一种智力游戏，通过填写数字，使得每行、每列和每个3x3小正方形内的数字均不重复。对于给定的数独，我们只需判断其是否满足这些条件。

算法思路如下：
1. 首先，我们需要定义一个函数isValid，用于判断一个9x9的数独是否合法。函数的参数是二维数组board，表示数独的状态。
2. 在函数isValid内部，我们需要分别判断每一行、每一列和每个3x3小正方形是否合法。
- 对于每一行，我们使用一个长度为10的bool数组rows来记录每个数字是否出现过，初始值为false。遍历数独的每一个元素，如果该元素不为0且在相应行已经出现过，则返回false。
- 对于每一列，我们使用一个长度为10的bool数组columns来记录每个数字是否出现过，初始值为false。遍历数独的每一个元素，如果该元素不为0且在相应列已经出现过，则返回false。
- 对于每个3x3小正方形，我们使用一个长度为10的bool数组boxes来记录每个数字是否出现过，初始值为false。遍历数独的每一个元素，如果该元素不为0且在相应小正方形已经出现过，则返回false。
3. 如果所有行、列和小正方形都合法，则返回true。

对于给定的数独，我们可以调用isValid函数进行判断。最后输出结果即可。

注意：根据题目的描述，输入和输出在题目链接中给出，因此我们只需实现isValid函数即可。