设m*n维分块矩阵R为R11,R12,0,R22,其中R22为(m-k)*(n-k)维矩阵。证明R的第k+1个奇异值小于等于R22的二范数。
时间: 2024-03-04 07:50:44 浏览: 35
我们可以利用矩阵的奇异值与SVD分解的关系来证明这个结论。
首先,我们知道矩阵R的奇异值是指矩阵R的特征值的平方根,也就是R的SVD分解中奇异值矩阵Σ的对角线上的元素。
根据SVD分解,我们可以将矩阵R写成以下形式:
R = U * Σ * V^T
其中,U和V是正交矩阵,Σ是奇异值矩阵。
根据分块矩阵的性质,可以将U、V、Σ分块:
U = [U11, U12; U21, U22]
Σ = [Σ11, 0; 0, Σ22]
V = [V11, V12; V21, V22]
其中,U11、V11、Σ11和Σ22都是k*k维矩阵,U12和U22都是k*(m-k)维矩阵,V12和V22都是k*(n-k)维矩阵。
将这些分块矩阵代入R的SVD分解式中,可以得到以下形式:
R = U11 * Σ11 * V11^T + U12 * 0 * V11^T + U21 * 0 * V11^T + U22 * Σ22 * V22^T
由于U、V是正交矩阵,因此U11、U12、U21、U22、V11、V12、V21、V22都是正交矩阵。而且,由于Σ是奇异值矩阵,因此Σ11和Σ22都是对角线上元素非负的对角矩阵。
根据矩阵乘法的性质,可以得到以下结论:
||R||_2 = ||U * Σ * V^T||_2 = ||Σ||_2
其中,||.||_2表示矩阵的二范数。
由于Σ11和Σ22都是对角线上元素非负的对角矩阵,因此:
||Σ||_2 = max{σ_1, σ_2, ..., σ_k, σ_k+1, ..., σ_min(m,n)}
其中,σ_1, σ_2, ..., σ_k是Σ11的奇异值,σ_k+1, ..., σ_min(m,n)是Σ22的奇异值。
根据奇异值的定义,可以得到以下结论:
σ_k+1 <= ||Σ22||_2
因此,R的第k+1个奇异值小于等于R22的二范数。证毕。