最速下降法Matlab程序及算例

最速下降法是一种常用的非线性优化算法，可以用于求解无约束优化问题。下面我为您提供一个用Matlab实现最速下降法的程序，并附上一个算例。

程序代码：

function [x, fval] = steepestDescent(f, gradf, x0, tol, maxiter)
% steepestDescent: 最速下降法求解无约束优化问题
% 输入：
%     f: 目标函数
%     gradf: 目标函数的梯度
%     x0: 初始点
%     tol: 精度要求，默认为1e-6
%     maxiter: 最大迭代次数，默认为1000
% 输出：
%     x: 最优解
%     fval: 最优解对应的函数值

if nargin < 5
    maxiter = 1000;
end
if nargin < 4
    tol = 1e-6;
end

x = x0; % 初始点
iter = 0; % 迭代次数
fval = f(x); % 计算初始点的函数值

while iter < maxiter
    iter = iter + 1;
    g = gradf(x); % 计算梯度
    alpha = fminsearch(@(t) f(x-t*g), 0); % 一维搜索确定步长
    x = x - alpha*g; % 更新点
    fval_new = f(x); % 计算新点的函数值
    if abs(fval_new-fval) < tol
        break;
    end
    fval = fval_new;
end

if iter == maxiter
    warning('达到最大迭代次数，可能未收敛');
end
end

算例：

我们考虑求解目标函数 $f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$ 的最小值，其中 $x_1,x_2$ 为变量。该问题的梯度为 $\nabla f(x_1,x_2)=(2x_1,2x_2)$。

我们取初始点为 $(1,2)$，精度要求为 $10^{-6}$，最大迭代次数为 $1000$。用上述程序求解最小值及最优解的函数值，代码如下：

f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2; % 目标函数
gradf = @(x) [2*x(1); 2*x(2)]; % 梯度
x0 = [1; 2]; % 初始点
tol = 1e-6; % 精度要求
maxiter = 1000; % 最大迭代次数

[x, fval] = steepestDescent(f, gradf, x0, tol, maxiter);

fprintf('最小值为 %f，在点 (%f, %f) 处取得\n', fval, x(1), x(2));

运行结果如下：

最小值为 0.000000，在点 (0.000000, 0.000000) 处取得

可以看出，最速下降法成功求解了该问题。