calculating s=1+(1+2)+(1+2+3)+... ...+(1+2+...+n)
时间: 2023-05-31 16:20:46 浏览: 121
### 回答1:
计算 s=1+(1+2)+(1+2+3)+... ...+(1+2+...+n)。
解答:
我们可以先观察一下每一项的通项式,可以发现第 k 项的值为 1+2+...+k,即等差数列的前 k 项和。
因此,第 k 项的值为 k*(k+1)/2。
所以,从第 1 项到第 n 项的和为 1*(1+1)/2 + 2*(2+1)/2 + ... + n*(n+1)/2。
拆开式子,得到 s=(1+2+...+n)+(1+2+...+(n-1))+...+(1+2)+(1)。
可以发现,每两项的和为 n*(n+1)/2,一共有 n 项,因此 s=n*(n+1)*(n+2)/6。
所以,s= n*(n+1)*(n+2)/6。
### 回答2:
s=1 (1 2) (1 2 3) ... ... (1 2 ... n) 可以看成是一个带有括号的乘法表达式,其中每对括号内的数字表示连乘运算,如(1 2)=1×2=2,(1 2 3)=1×2×3=6。而整个表达式的结果则是各个括号内的结果连乘所得到的积。
我们可以对表达式进行重组来更好地理解。首先,将每对相邻的括号进行展开:
s = 1×(1 2)×(1 2 3)×...×(1 2 ... n)
= 1×2×(1 2 3)×...×(1 2 ... n)
= 1×2×3×(1 2 3 ... n)
= 1×2×3×...×n
因此,s的值就等于1到n的所有自然数的乘积,可以用阶乘的形式表示为s=n!。这个结果并不意外,因为将所有数字相乘的结果就是它们的阶乘。
另外,我们可以通过数学归纳法来证明这个结果。当n=1时,s=1!=1成立。假设当n=k时,s=k!成立,那么当n=k+1时:
s = 1×(1 2)×(1 2 3)×...×(1 2 ... k)×(1 2 ... k+1)
= s×(1 2 ... k+1)
= k!×(k+1)
= (k+1)!
因此,s=k!成立时,我们可以推出s=(k+1)!,也就证明了当n取任意正整数时,s=n!成立。
综上所述,s=1 (1 2) (1 2 3) ... ... (1 2 ... n)的结果就是n的阶乘,即s=n!。
### 回答3:
题目思路:
首先需要了解排列组合知识。从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的不同组合数($C_{n}^{m}$)可以表示为:$\frac{n!}{m!(n-m)!}$。同时,m 个元素的全排列为 $A_{m}^{m}=m!$。因此,把组合数和排列数相乘,可以得到 m 个元素的排列组合数:$\frac{n!}{(n-m)!}$。接下来,我们就可以利用这个公式,依次求解 s=1 (1 2) (1 2 3) ... ... (1 2 ... n)。
解题过程:
$s=1$,这里表示有 1 个元素时的排列组合数为 1。$s=1\cdot1$,表示有 2 个元素时的排列组合数为 1。$s=1\cdot1\cdot2$,表示有 3 个元素时的排列组合数为 2。不难发现,每次的排列组合数都是上一次的排列组合数乘以当前有几个元素。因此,可以得到$s=1\cdot1\cdot2\cdot6\cdot24\cdot\dots\cdot n!$。其中,2、6、24、...、n!可以看做是 $(n-1)$ 个元素的排列组合数。而这 $(n-1)$ 个元素依次是 $2,3,4,\dots,n$。因此,上述公式可以还原为:$s=(n-1)!\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\dots\cdot n$。进一步简化为:$s=n!-1$。
综上所述,s=1 (1 2) (1 2 3) ... ... (1 2 ... n)的排列组合数为 n!-1,其中 n 表示有几个元素。