基于坐标轮换法的无约束最优化算法设计与实现

基于坐标轮换法的无约束最优化算法，也称为坐标轮换优化算法（Coordinate Rotation Algorithm, CRA），是一种迭代算法，用于寻找无约束非线性函数的最优解。该算法通过对函数的每个变量进行单独的最优化来逐步优化整个函数。坐标轮换法的基本思想是，每次迭代时，选择一个变量，将其它变量固定，然后通过一定的方式来寻找该变量的最优解。然后，重复这个过程，直到满足停止准则为止。

坐标轮换法的优点是简单易实现，收敛速度较快。但是，这种方法在一些情况下可能会收敛到局部最优解，而不是全局最优解。

下面是基于坐标轮换法的无约束最优化算法的设计和实现步骤：

1. 确定优化的目标函数，以及停止准则和初始点。

2. 选择一个变量，将其它变量固定，然后通过一定的方式来寻找该变量的最优解。可以使用牛顿法、梯度下降法等方法来实现。

3. 重复步骤2，直到满足停止准则为止。常用的停止准则是目标函数的变化量小于某个预设的阈值，或者达到最大迭代次数。

4. 输出最优解。

下面是一个简单的基于坐标轮换法的无约束最优化算法实现示例：

def coordinate_rotation(f, x0, eps, max_iter):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        for j in range(len(x)):
            x[j] = optimize.minimize_scalar(lambda alpha: f(*(x[:j] + (alpha,) + x[j+1:])), bounds=(-10, 10)).x
        if abs(f(*x) - f(*x0)) < eps:
            break
    return x

在这个示例中，`f`是目标函数，`x0`是初始点，`eps`是停止准则，`max_iter`是最大迭代次数。每次迭代中，通过`minimize_scalar`函数寻找一个变量的最优解。如果目标函数的变化量小于`eps`，或者达到最大迭代次数，就停止迭代，返回最优解。