解释一下坐标转换过程中过渡矩阵的作用。

在坐标转换过程中，过渡矩阵的作用是将一个坐标系中的向量表示转换为另一个坐标系中的向量表示。这个过程涉及到两个坐标系之间的变换，通常包括旋转、平移和缩放等变换。过渡矩阵是一个线性变换矩阵，它描述了从一个坐标系到另一个坐标系之间的线性变换关系。

具体地说，设有两个坐标系，它们的基向量分别为 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ 和 $\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2, \mathbf{e}'_3$，其中 $\mathbf{e}_i$ 表示第一个坐标系中的第 $i$ 个基向量，$\mathbf{e}'_i$ 表示第二个坐标系中的第 $i$ 个基向量。设一个向量在第一个坐标系中的表示为 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$，在第二个坐标系中的表示为 $\mathbf{v}' = (v'_1, v'_2, v'_3)$，则它们之间的关系可以表示为：

$$ \begin{pmatrix} v'_1 \\ v'_2 \\ v'_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} $$

其中，$(a_{ij})$ 是过渡矩阵，表示第一个坐标系中的基向量 $\mathbf{e}_i$ 在第二个坐标系中的表示，$(t_1, t_2, t_3)$ 是平移向量，表示第一个坐标系的原点在第二个坐标系中的坐标。通过这个公式，我们就可以将一个向量在两个坐标系之间进行变换。