已知门信号f(t)=g2(t)={1 |t|<1, 0 |t|>1 }求其傅里叶变换F(w)。写Matlab代码

函数 \( f(t) = g_2(t) \)，是一个单位阶跃函数，它在时间域内的定义是当 \( |t| < 1 \) 时等于1，否则为0。这种类型的信号在傅立叶变换中对应于一个Sinc函数。

对于单位阶跃函数的傅里叶变换，可以利用Sinc函数的性质，即Sinc函数的傅里叶变换仍然是一个Sinc函数，但是中心频率不同。具体来说，对于 \( f(t) = u(t) - u(t-1) \)（这里\( u(t) \)是单位阶跃函数），它的傅里叶变换是：

\[ F(w) = \frac{\sin(\pi w)}{w} \]

因为 \( g_2(t) \) 是这个函数在一个区间内的部分，所以对应的变换会有一个矩形频谱，在 \( -\pi \leq w \leq \pi \) 区间内是1，其他地方是0。

以下是MATLAB代码来计算这个函数的离散傅里叶变换（DFT），假设我们有一个时间序列`t`：

% 定义时间序列和步长
dt = 0.001; % 这里假设采样周期很小，可以近似为连续信号
T = 2; % 时间长度，因为g2(t)在[-1,1]内为1
t = -1:dt:1-dt;

% 计算g2(t)
g2 = zeros(size(t));
g2(abs(t)<1) = 1;

% 计算DFT并取实部（因为在时间域是实数）
N = length(t);
F_w = ifftshift(fft(g2, N)) / N; % 使用ifftshift将0分量移至正中心

% 绘制结果
plot(freqz(F_w, 1, 'whole', false), 'LineWidth', 2); % freqz用于绘制频谱
xlabel('Frequency (Normalized rad/sample)');
ylabel('Magnitude');
title('Discrete Fourier Transform of g2(t)');
xlim([-pi pi]);