有n个（2<=n<=5*10^4）l_i和r_i，现在对于每个i(1<=i<=n)选一个数x（l_i<=x<=r_i）使得它们的最大共约数为k。如果不存在，输出无解，否则输出一种选出的数。时间必须在一秒以内。写出该题的思路，程序步骤和c++程序。

这是一个经典的数学问题，可以使用欧几里得算法（Euclidean Algorithm）来求两个数的最大公约数，并结合贪心策略解决。由于范围较小（最多5万），我们可以暴力枚举每一个区间内的整数作为`x`。

思路步骤：

1. 对于给定的每个区间 `[l_i, r_i]`，遍历这个区间的每个整数`x`。
2. 使用欧几里得算法计算当前`x`和`k`的最大公约数`(gcd(x, k))`。
3. 如果找到的`(gcd(x, k))`等于`k`，说明找到了符合条件的`x`，记录下来并跳出循环。
4. 遍历完所有区间和整数后，如果没有找到满足条件的`x`，则输出“无解”。

C++程序示例：

#include <iostream>
#include <vector>

// 求最大公约数的函数，利用辗转相除法
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a % b);
}

bool findSolution(std::vector<pair<int, int>>& intervals, int k) {
    for (auto& interval : intervals) {
        for (int x = interval.first; x <= interval.second; ++x) {
            if (gcd(x, k) == k) {
                std::cout << x << " ";
                return true;
            }
        }
    }
    // 如果没有找到满足条件的x，则返回false
    std::cout << "无解";
    return false;
}

int main() {
    int n;
    std::cin >> n;

    std::vector<pair<int, int>> intervals(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> intervals[i].first >> intervals[i].second;
    }

    int k;
    std::cin >> k;

    findSolution(intervals, k);

    return 0;
}

注意：虽然这个解决方案能在规定的时间内运行，但如果输入规模非常大，可能会导致性能问题。实际上，对于这个问题，更高效的算法可能是通过预先计算每个区间内特定最大公约数的值来优化，但这超出了此问题的基础范围。在实际竞赛或生产环境中，可能会需要更为复杂的优化。