python如何在GF(2^13)上执行乘法

在GF(2^13)，也就是二元有限域，Python中可以使用内置的模运算符 `%` 来模拟这种非阿贝尔伽罗瓦字段（也称为二进制小数域）上的乘法。GF(2^13)通常通过一个固定的生成元（generator polynomial），比如x^13 + x^9 + x^7 + x^5 + 1（这是二元Frobenius映射下的第13次幂等映射），来进行元素的操作。

首先，你需要创建一个长度为13的数组表示这个特定域的元素，其中每个位置对应于域中的一个二进制位。然后，对于两个GF(2^13)的元素A和B，你可以使用异或（^）操作来代替加法，因为在这个领域内，加法等于异或，而乘法可以通过递归的方式利用生成元和自乘来计算。

例如，假设你有两个元素a和b，你可能会这样做：

def multiply_GF2_13(a, b):
    # 初始化结果为0
    result = [0] * 13
    
    # 使用二进制乘法算法（Karatsuba or NTT）
    for i in range(13):
        result[i] = (a[i] ^ b[i]) % 2

    # 对生成元进行逐位自乘并累加到结果中
    generator_poly = [0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1]
    for i in range(13):
        for j in range(i, 13):
            result[j] ^= (result[i] * generator_poly[(j-i)%13]) % 2

    return result