qr分解matlab

QR分解（也称为QR因子分解）是一种线性代数方法，它将一个矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即 A = QR。在MATLAB中，`qr`函数用于执行这个分解。以下是使用`qr`函数的基本步骤：

1. `[Q,R] = qr(A);`
这行代码会计算矩阵A的QR分解，`Q`是一个正交矩阵，`R`是一个上三角矩阵。

2. 正交矩阵Q的列是A的列向量在标准正交基下的基向量。

3. 上三角矩阵R的对角线元素是对应于原始矩阵A的主子式，非对角线元素通常为0。

4. QR分解在数值稳定性方面优于直接求逆，特别适用于大规模矩阵，因为它避免了除法运算可能带来的精度损失。

相关问题

householder qr分解 matlab

### 回答1：
QR分解是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。在Matlab中，可以使用“qr”函数进行QR分解，其中“[Q,R] = qr(A)”表示将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。而“[Q,R,E] = qr(A)”则表示将矩阵A进行QR分解，并返回置换矩阵E，其中E用于将QR分解后的结果重新排列为原始矩阵A。

### 回答2：
QR 分解是一种矩阵分解方法，将一个矩阵分解为一个正交矩阵乘一个上三角矩阵的乘积。Householder QR 分解是一种常用的 QR 分解方法，它通过一系列的 Householder 变换将一个矩阵变换为上三角矩阵，进而实现 QR 分解。在 MATLAB 中，我们可以使用自带的 `qr` 函数来进行 Householder QR 分解。

使用 `qr` 函数时，我们需要输入一个矩阵，它会输出一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R。例如，我们有一个 4 × 3 的矩阵 A，代码如下：

A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12];
[Q, R] = qr(A);

这里我们可以看到，我们使用 `qr` 函数将 A 进行 QR 分解，将分解结果分别保存到 Q 和 R 中。我们可以通过控制台输出 Q 和 R：

>> Q

Q =

   -0.0339   -0.9732   -0.1601    0.1590
   -0.1357   -0.0975   -0.8341   -0.5298
   -0.2375    0.7783   -0.3760    0.4510
   -0.3393    0.4520    0.3899   -0.7481

>> R

R =

  -29.6748  -35.5872  -41.4997
         0    0.8660    1.7320
         0         0    0.0000

我们可以看到，经过 QR 分解后，矩阵 Q 单位化，与原矩阵 A 的列空间相同，而矩阵 R 是一个上三角矩阵，包含着原矩阵 A 的所有信息。可以使用 Q * R 来验证分解的正确性。

需要注意的是，在 MATLAB 中， `qr` 函数默认是针对列进行 QR 分解的，即将 A 的列向量视为矩阵的列进行分解。如果需要对行进行 QR 分解，可以先将矩阵转置，再进行分解。此外，在计算过程中，可能会出现数值误差产生的影响，可以通过增加计算精度等方法来解决。

### 回答3：
QR分解是矩阵分解的一种方法，主要解决线性方程组求解及特征值计算等问题。其中Householder变换作为QR分解的一种变换方式，能够快速、高精度地求解矩阵。

Matlab是一种商业数学软件，具有广泛的数学库，可方便的实现QR分解。Matlab中的QR分解有多种实现方式，其中以Householder变换实现的QR分解最为常用。

Householder变换将原矩阵通过变换变为上三角矩阵，然后通过R矩阵的逆变换将该上三角矩阵还原为原矩阵。这种变换可以通过对矩阵进行Householder变换，即对矩阵进行反射，进行实现，适用于任何大小并且可以通过向量和矩阵实现。

在Matlab中，可以使用内置函数"qr"进行QR分解的计算。例如，可以通过以下代码实现QR分解：

A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; % 设定矩阵A
[Q, R] = qr(A); % 对A进行QR分解

其中，Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，即QR分解的结果。此外，Matlab还提供了多种QR分解方法，包括基于Givens旋转的QR分解和迭代QR分解等。

总之，QR分解是矩阵计算中常用的一种方法，而Matlab提供了快速、高效的实现方式，可以用于各种数学问题的计算和求解。

qr分解matlab代码

以下是一个使用 MATLAB 实现 QR 分解的示例代码：

function [Q, R] = qr_decomposition(A)
% Input: A - a matrix
% Output: Q - orthogonal matrix
%         R - upper triangular matrix

% Get dimensions of matrix A
[m, n] = size(A);

% Initialize matrices Q and R
Q = eye(m);
R = A;

% Perform QR decomposition
for j = 1:n
    % Compute the norm of the jth column
    norm_x = norm(R(j:m, j));
    
    % If the norm is zero, skip to the next column
    if norm_x == 0
        continue
    end
    
    % Compute the Householder reflection matrix
    u = R(j:m, j) + sign(R(j, j)) * norm_x * eye(m-j+1, 1);
    u = u / norm(u);
    H = eye(m-j+1) - 2 * u * u';
    
    % Update R and Q
    R(j:m, j:n) = H * R(j:m, j:n);
    if j < m
        Q(:, j:m) = Q(:, j:m) - 2 * Q(:, j:m) * u * u';
    end
end
end

这个代码实现了基本的 QR 分解算法，它使用 Householder 变换来将输入矩阵 A 转换为一个上三角矩阵 R，同时计算出一个正交矩阵 Q，使得 Q*R = A。