QR分解matlab程序

以下是QR分解的Matlab程序：

function [Q,R] = QR_decomposition(A)
% QR Decomposition using Householder reflections
% A: matrix to be decomposed
% Q: orthogonal matrix
% R: upper triangular matrix
[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
for k = 1:n
    % Compute the Householder reflection that zeros out below the diagonal
    x = A(k:m,k);
    e1 = zeros(length(x),1);
    e1(1) = 1;
    v = sign(x(1))*norm(x)*e1 + x;
    v = v/norm(v);
    % Apply the reflection to A and Q
    A(k:m,k:n) = A(k:m,k:n) - 2*v*(v'*A(k:m,k:n));
    Q(k:m,:) = Q(k:m,:) - 2*v*(v'*Q(k:m,:));
end
R = triu(A);
end

这个程序使用Householder反射来进行QR分解。输入矩阵A，输出正交矩阵Q和上三角矩阵R。

相关问题

qr分解matlab程序

以下是一个简单的 QR 分解 Matlab 程序示例：

function [Q,R] = my_qr(A)
% 实现QR分解的函数
% 输入 A：要进行QR分解的矩阵
% 输出 Q：正交矩阵
% 输出 R：上三角矩阵

[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
for k = 1:n
    x = A(k:m,k);
    e = zeros(length(x),1);
    e(1) = sign(x(1)) * norm(x);
    u = x - e;
    v = u / norm(u);
    A(k:m,k:n) = A(k:m,k:n) - 2 * v * (v' * A(k:m,k:n));
    Q(k:m,:) = Q(k:m,:) - 2 * v * (v' * Q(k:m,:));
end
R = triu(A);
end

该程序使用 Householder 变换实现 QR 分解，其中 $Q$ 是正交矩阵，$R$ 是上三角矩阵。程序中使用了 Matlab 的内置函数 `eye` 用于生成单位矩阵，`sign` 用于获取一个数的符号，`norm` 用于计算向量的范数。

householder进行qr分解matlab代码

### Householder QR 分解 MATLAB 实现

对于矩阵 \(A\) 的Householder QR分解，可以采用一系列反射变换来逐步将\(A\)转换成上三角形式。以下是MATLAB中的具体实现：

function [Q,R] = householder_qr(A)
% 对输入矩阵A执行Householder QR分解
[m,n] = size(A);
R = A;
Q = eye(m);

for k = 1:min(m-1,n)
    % 提取当前列向量并构建初始Householder向量v
    x = R(k:end,k);
    v = zeros(size(x));
    
    if norm(x) > eps
        sigma = sign(x(1))*norm(x);
        v(1) = x(1)+sigma;
        v(2:end) = x(2:end);
        
        % 计算beta参数用于后续计算效率优化
        beta = 2/(v'*v);
        
        % 更新剩余部分的R矩阵
        R(k:end,k:n) = R(k:end,k:n)-beta*v*(v'*R(k:end,k:n));

        % 同步更新正交矩阵Q
        Qk = eye(m-k+1) - beta * v * v';
        Q(:,k:m) = Q(:,k:m) * blkdiag(eye(k-1), Qk);
    end
    
end

% 调整最终得到的Q使其成为标准正交基底
if n<m
    [~, ~, V] = svd(Q(:,n+1:end)');
    Q(:,n+1:end) = conj(V');
end

此段程序定义了一个名为`householder_qr`的功能函数[^2]，它接收一个矩阵作为输入，并返回对应的正交矩阵\(Q\)以及上三角矩阵\(R\)。