2 已 知 描 述 某 连 续 系 统 的 微 分 方 程 为 : y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)+2f(t)当输入信号为f(t)=e⁻²ᵗu(t)时， 试用 Matlab绘出该系统的零状态响应的波形。

这个微分方程描述的是一个一阶线性常系数系统，其中 \( y(t) \) 是系统的输出，\( f(t) = e^{-2t}u(t) \) 是输入信号，\( u(t) \) 是单位阶跃函数。微分方程可以表示为：

\[ \frac{dy}{dt}(t) + 2\frac{dy}{dt}(t) + y(t) = f(t) + 2f(t) \]

由于输入信号是非零初始条件下的阶跃函数，零状态响应意味着系统一开始没有任何内部能量存储，因此解只依赖于输入信号。对于这样的情况，我们可以先将方程化简，然后用MATLAB的`ode45`函数求解其离散形式。

首先，我们需要确定系统的常数系数矩阵和向量，这里有一个基本的转换规则：
\[ sY(s) - y(0) = (s^2 + 2s + 1)Y(s) = F(s) \]
其中 \( Y(s) \) 是拉普拉斯变换后的输出，\( F(s) \) 是拉普拉斯变换后的输入。给定输入 \( F(s) = \frac{1}{s+2} \)，计算 \( Y(s) \) 后，我们再做逆拉普拉斯变换得到 \( y(t) \)。

接下来，我们将使用MATLAB编写代码来完成这个过程：

syms s t y f
% 定义输入信号的拉普拉斯变换
F_s = 1/(s + 2);
% 解出输出的拉普拉斯变换
Y_s = solve((s^2 + 2*s + 1)*Y_s == F_s, Y_s);

% 将Y_s转换回时间域
y_t = ilaplace(Y_s, 's', t, 'Tustin'); % 使用Tustin变换近似离散卷积
% 设置起始时间、结束时间和采样率
t_start = 0;
t_end = 10;
Ts = 0.1; % 时间步长

% 计算并绘制零状态响应
[t, y_t_response] = ode45(@(t,y) dsolve(t, y), [t_start t_end], y_t(0));
plot(t, y_t_response)
xlabel('Time (s)')
ylabel('Response')
title('Zero State Response of the System')

function dydt = dsolve(t, y)
    % 根据微分方程构建连续时间模型
    dydt = diff(y)/t + 2*diff(y)/t + y;
end

运行此代码后，你会看到零状态响应的波形。请注意，实际执行代码需要安装MATLAB环境。