0-1背包问题题目描述
时间: 2023-11-23 18:55:47 浏览: 67
0-1背包问题是一个经典的组合优化问题,其问题描述如下:给定一个固定大小、能够携带重量为W的背包,以及一些有价值的物品,每个物品有自己的重量和价值,在保证总重量不超过背包容量的前提下,选择一些物品装入背包,使得装入的物品总价值最大。其中每种物品仅有一个,可以选择放或不放。这个问题可以用动态规划、贪心算法和回溯算法等多种方法求解。
相关问题
题目描述 有一个容量为V的背包,同时还有n个物品,每个物品的体积都不同。 在这n个物品中,任取若干个装入背包内,使得背包的剩余空间最小。 输入格式 两行,第一行为背包容量V和物品件数n,第二行为n个用空格隔开的整数。 输出格式 一个整数,背包的剩余容积。 说明/提示 1 <= V <= 1000 1 <= n <= 10
这是一道背包问题,可以使用动态规划来解决。
具体思路如下:
1. 读入背包容量 V 和物品个数 n,以及每个物品的体积 v。
2. 创建一个大小为 (n+1) * (V+1) 的二维数组 dp,其中 dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包后剩余的最小空间。
3. 初始化 dp 数组,当背包容量为 0 时,剩余空间为 0,即 dp[i][0] = 0;当物品个数为 0 时,剩余空间为背包容量,即 dp[0][j] = j。
4. 对于每个物品 i,分两种情况进行考虑:
a. 如果物品 i 的体积大于当前背包容量 j,那么不能将物品 i 放入背包中,此时 dp[i][j] = dp[i-1][j],即当前物品不放入背包。
b. 如果物品 i 的体积小于等于当前背包容量 j,则可以选择将物品 i 放入背包中或者不放入背包中,取两者中剩余空间最小的值,即 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]]),其中 v[i] 表示第 i 个物品的体积。
5. 最终的结果为 dp[n][V],即前 n 个物品放入容量为 V 的背包后剩余的最小空间。
下面是代码实现:
```python
V, n = map(int, input().split())
v = list(map(int, input().split()))
dp = [[0] * (V+1) for _ in range(n+1)]
for j in range(V+1):
dp[0][j] = j
for i in range(1, n+1):
for j in range(V+1):
if v[i-1] > j:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i-1]])
print(dp[n][V])
```
希望能够对你有所帮助!
部分背包问题 ## 题目描述 阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 N(N <= 100) 堆金币,第 i 堆金币的总重量和总价值分别是 m_i,v_i(1<= m_i,v_i <= 100)。阿里巴巴有一个承重量为 T(T <= 1000) 的背包,但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割,分割完的金币重量价值比(也就是单位价格)不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币?
这是一个经典的背包问题,可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组 dp,其中 dp[i][j] 表示在前 i 堆金币中,背包容量为 j 时的最大总价值。
根据题目要求,我们可以得到以下状态转移方程:
- 当 i=0 或 j=0 时,dp[i][j] = 0,表示没有金币或背包容量为0时的最大总价值为0;
- 当 m_i > j 时,表示第 i 堆金币的重量大于背包容量,无法装入背包,所以 dp[i][j] = dp[i-1][j],即不选择第 i 堆金币;
- 当 m_i <= j 时,表示第 i 堆金币的重量小于等于背包容量,可以选择装入或不装入背包。如果选择装入,则 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-m_i] + v_i),即选择第 i 堆金币和不选择第 i 堆金币中的最大值;如果不选择装入,则 dp[i][j] = dp[i-1][j];
最终,dp[N][T] 即为所求的最大总价值。
以下是一个动态规划的实现示例(使用Python语言):
```python
def max_value(N, T, m, v):
dp = [[0] * (T+1) for _ in range(N+1)]
for i in range(1, N+1):
for j in range(1, T+1):
if m[i-1] > j:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-m[i-1]] + v[i-1])
return dp[N][T]
# 示例输入
N = 3
T = 5
m = [2, 3, 4]
v = [3, 4, 5]
# 输出最大总价值
print(max_value(N, T, m, v)) # 输出:9
```
在示例输入中,有3堆金币,背包容量为5。第一堆金币重量为2,价值为3;第二堆金币重量为3,价值为4;第三堆金币重量为4,价值为5。通过动态规划计算,阿里巴巴最多可以拿走的价值为9。