基于f(x)=x^2-x-6=0构造xn+1=g(xn) xn+1=6/xn从2.5附近开始迭代能否收敛？用不动点迭代

首先，我们需要将f(x)转化为不动点方程g(x)=x，即g(x)=x^2-x-6+x=x^2-6。因此，我们可以使用g(x)=x^2-6进行迭代。

从x0=2.5开始迭代，我们可以得到以下迭代序列：

x1 = g(x0) = 2.5^2 - 6 = -0.25
x2 = g(x1) = (-0.25)^2 - 6 = -5.9375
x3 = g(x2) = (-5.9375)^2 - 6 ≈ -35.4414
x4 = g(x3) = (-35.4414)^2 - 6 ≈ -1242.27
x5 = g(x4) = (-1242.27)^2 - 6 ≈ -1.542 × 10^6

我们发现，迭代序列并没有收敛，而是越来越远离根。因此，使用g(x)=x^2-6进行迭代不能收敛。

接下来，考虑使用不动点迭代。我们可以将g(x)=x^2-6转化为不动点方程x=φ(x)，其中φ(x)=sqrt(x+6)。

从x0=2.5开始迭代，我们可以得到以下迭代序列：

x1 = φ(x0) = sqrt(2.5+6) ≈ 2.958
x2 = φ(x1) = sqrt(2.958+6) ≈ 3.201
x3 = φ(x2) = sqrt(3.201+6) ≈ 3.358
x4 = φ(x3) = sqrt(3.358+6) ≈ 3.444
x5 = φ(x4) = sqrt(3.444+6) ≈ 3.485

我们发现，迭代序列逐渐接近根x=3，因此使用不动点迭代可以收敛。

相关问题

基于f(x)=x^2-x-6=0构造xn+1=g(xn) xn+1=6/xn从2.5附近开始迭代能否收敛？

我们可以使用牛顿迭代法来解决这个问题。首先，我们需要求出f(x)的导数f'(x)：

f(x) = x^2 - x - 6
f'(x) = 2x - 1

然后，我们可以使用牛顿迭代公式：

xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)

将f(x)和f'(x)代入公式中，得到：

xn+1 = xn - (xn^2 - xn - 6) / (2xn - 1)

化简后得到：

xn+1 = 1/2 * (xn + 6/xn)

现在，我们可以从2.5开始迭代，计算前几个xn+1的值，看看是否收敛：

x2 = 1/2 * (2.5 + 6/2.5) ≈ 2.200
x3 = 1/2 * (2.200 + 6/2.200) ≈ 2.006
x4 = 1/2 * (2.006 + 6/2.006) ≈ 2.000
x5 = 1/2 * (2.000 + 6/2.000) ≈ 2.000
...

我们可以发现，xn+1的值趋近于2，因此迭代是收敛的。

编写c语言程序在[-1,1]区间上，对被插函数f(x)=1/(1+16x^2)构造插值多项式，采用空间上均匀分布的节点，构造不同阶的插值多项式来近似被插函数，画出精确曲线，近似曲线及误差线

好的，我明白了。这是一个插值问题，需要使用拉格朗日插值多项式来求解。

首先，我们需要在[-1,1]区间上选择一些等距节点。假设我们选择了n个节点，分别为x0, x1, ..., xn-1，且满足x0 = -1, xn-1 = 1，那么每个节点的间距为h = (1 - (-1)) / (n - 1)。

接下来，我们需要计算出每个节点的函数值f(xi)。根据题目中给出的被插函数f(x) = 1 / (1 + 16x^2)，我们可以得到：

f(xi) = 1 / (1 + 16(xi)^2)

有了节点和函数值，我们就可以构造拉格朗日插值多项式了。对于一个插值点x，它的插值多项式L(x)可以表示为：

L(x) = Σ[i=0, n-1] f(xi) * li(x)

其中li(x)是拉格朗日基函数，定义为：

li(x) = Π[j=0, n-1 && j≠i] (x - xj) / (xi - xj)

在计算li(x)时需要注意分母不能为0。

对于不同阶的插值多项式，我们只需要选择不同的节点数n即可。以下是n=5, 10, 15时的插值多项式及近似曲线和误差线的代码和图形：