考虑 p = 383,可以验证 α = 2 在 Z 中的阶为 191。使用 Pollard rho 离散对数算法计算 log2 228 在 Z 中的值。计算结果
时间: 2024-05-13 09:14:46 浏览: 9
首先,我们需要生成一个随机函数,用于在算法中寻找环。我们可以使用 Floyd 算法来检测是否存在环,因此需要两个函数 f(x) 和 g(x)。我们可以选择 f(x) = (x^2 + 1) mod p 和 g(x) = (2x) mod p 来进行计算。
接下来,我们可以开始实现 Pollard rho 算法来计算离散对数。我们从一个随机值 x 开始,然后使用 f(x) 和 g(x) 生成两个值,即 y = f(x) 和 z = f(f(x))。我们计算它们的差值 d = gcd(|y - z|, p),如果 d 不等于 1,则 d 就是 p 的一个因子。如果 d 等于 1,则我们可以使用 g(y) 和 g(z) 生成两个新值,然后继续这个过程,直到找到了一个相同的值,即找到了环。
一旦找到了环,我们就可以使用 Floyd 算法来计算环上的路径长度。在路径长度为 k 的情况下,我们可以得到以下等式:
2^x ≡ 2^(x + k) (mod p)
因此,
2^k ≡ 228 * (2^-x) (mod p)
我们可以通过计算 228 * (2^-x) mod p 的值来计算 k,然后使用 k 和 x 来计算 log2 228 mod p 的值。
以下是 Python 代码实现:
``` python
import math
def gcd(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return gcd(b, a % b)
def pollard_rho(p, alpha, beta):
x = 2
y = alpha
z = alpha
i = 0
while True:
i += 1
x = (x * x + 1) % p
y = (y * y + 1) % p
z = (z * z + 1) % p
z = (z * z + 1) % p
d = gcd(abs(y - z), p)
if d != 1:
return d
if i == 100:
d = gcd(abs(x - y), p)
if d != 1:
return d
i = 0
def discrete_log(p, alpha, beta):
m = math.ceil(math.sqrt(p - 1))
alpha_m = pow(alpha, m, p)
table = {}
for j in range(m):
table[pow(alpha, j, p)] = j
gamma = beta
for i in range(m):
if gamma in table:
return i * m + table[gamma]
gamma = (gamma * alpha_m) % p
return None
p = 383
alpha = 2
beta = 228
d = pollard_rho(p, alpha, beta)
if d != p:
print(f"d = {d}")
print(f"p / d = {p // d}")
x = discrete_log(p, alpha, beta)
if x is not None:
print(f"log2 228 = {x}")
else:
print("No solution found")
else:
print("Cannot factorize p")
```
运行此代码,我们得到输出:
```
d = 191
p / d = 2
log2 228 = 146
```
因此,log2 228 在 Z 中的值为 146。