在直角坐标系中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W (1)求W的方程; (2)已知矩形有三个顶点在W上,证明:矩形的周长大于
时间: 2024-04-05 22:31:03 浏览: 19
(1)设点P的坐标为(x, y),则点P到x轴的距离为|y|,点P到点(0,1)的距离为$\sqrt{x^2+(y-1)^2}$,所以有:
|y| = $\sqrt{x^2+(y-1)^2}$
化简得:
y^2 - 2y + x^2 - 1 = 0
为了方便后面的证明,我们将上式改写为:
y^2 - 2y + 1 + x^2 - 2 = 0
(y-1)^2 + x^2 = 2
所以动点P的轨迹方程为:(y-1)^2 + x^2 = 2
(2)设矩形的四个顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4),且三个顶点在W上,则有:
(y1-1)^2 + x1^2 = 2
(y2-1)^2 + x2^2 = 2
(y3-1)^2 + x3^2 = 2
不妨设x1 < x2 < x3,根据题意可知矩形的底边在x轴上,所以y1=y4=0,y2=y3=h,其中h为矩形的高。
设矩形的周长为C,则有:
C = 2(x2-x1+h) + 2(x3-x2+h) = 2(x3-x1+2h)
我们只需证明x3-x1 > $\sqrt{2}$ 即可证明C > 2$\sqrt{2}$。
因为三个顶点在W上,所以有:
(y3-1)^2 + x3^2 = (y2-1)^2 + x2^2 = (y1-1)^2 + x1^2 = 2
所以:
(x3-x1)^2 + (y3-y1)^2 = 2(x2-x1)^2
又因为矩形的高度为h,所以:
(y3-y1) = h
代入上式,得:
(x3-x1)^2 + h^2 = 2(x2-x1)^2
所以:
2(x3-x1)^2 = 2(x2-x1)^2 + h^2 > 2(x2-x1)^2
因为x2 > x1,所以有:
2(x3-x1)^2 > 4(x2-x1)^2
即:
x3-x1 > \sqrt{2}(x2-x1)
所以:
x3-x1 > $\sqrt{2}$
因此,矩形的周长C > 2$\sqrt{2}$。
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