-1/(√n+n)的级数
时间: 2024-01-12 14:05:22 浏览: 108
要判断级数的敛散性,我们可以使用比较判别法或根据判别法。
首先,我们可以使用比较判别法,将原级数与一个已知的敛散性的级数进行比较。由于对于所有n≥1,我们有:
0 < √n < √n + n
因此:
| -1 / (√n + n) | < | -1 / √n |
我们知道,级数 ∑ 1/√n 是一个收敛的p级数(其中p=1/2),因此由比较判别法,原级数也是一个收敛的级数。
另外,我们也可以使用根据判别法来判断原级数的敛散性。我们考虑计算原级数的通项的极限值:
lim┬n→∞〖| -1 / (√n + n) |^(1/n) 〗= lim┬n→∞(1 / (√n + n))^(1/n)
我们可以对该极限式子进行变形,得到:
lim┬n→∞(1 / (√n + n))^(1/n) = lim┬n→∞(1 / n(1/2) (1 + 1/n)^(1/n)) = 1
由于该极限值小于1,因此根据根据判别法,原级数是一个收敛的级数。
因此,级数 ∑ (-1 / (√n + n)) 是一个收敛的级数。
相关问题
要求编写程序,计算序列 1 - 1/4 + 1/7 - 1/10 + ... 的前N项之和。
这是一个交错级数的求和问题,也被称为莱布尼茨公式,通常用于计算π的近似值。级数的形式可以表示为:
S_n = (1 - 1/4) + (1/7 - 1/10) + (1/13 - 1/16) + ... + (1/(4n-3) - 1/(4n))
为了编写程序计算这个序列的前N项和,你可以采用循环结构,每次迭代计算两个相邻分数的和,并累加到总和上。这里是一个简单的Python示例:
```python
def alternating_series_sum(N):
total = 0
denominator = 4
for i in range(1, N+1):
if i % 2 == 1: # 如果索引是奇数,则加第一个分数
total += 1 / denominator
else: # 如果索引是偶数,则减去第二个分数
total -= 1 / denominator
denominator += 3 # 更新分母
return total
# 示例
N = 5
series_sum = alternating_series_sum(N)
print(f"前{N}项和为: {series_sum}")
```
在这个函数中,`denominator`变量会依次取4、7、10...,并根据i的奇偶性调整总和。
计算级数1-1/2+1/3!-1/4!+1/5!
这个级数可以写成如下形式:
1 - 1/2 + 1/3! - 1/4! + 1/5! - ...
我们可以利用泰勒展开公式来求解。
首先,我们知道:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...
因此,当 x = -1 时,我们得到:
e^(-1) = 1 - 1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ...
移项,我们得到:
1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + ... = e^(-1) ≈ 0.367879
因此,原级数的和为 0.367879。
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