cosh函数的泰勒级数展开：理解函数的渐近行为，掌握函数极限计算

# 1. cosh函数的定义和性质**

**1. 定义**

cosh函数是双曲余弦函数，定义为：

cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2

**2. 性质**

* 奇偶性：cosh(x)是偶函数，即cosh(-x) = cosh(x)。
* 单调性：cosh(x)在整个实数范围内单调递增。
* 范围：cosh(x)的取值范围为[1, ∞)。
* 微分：cosh(x)的导数为sinh(x)。
* 积分：cosh(x)的积分是sinh(x) + C。

# 2. cosh函数的泰勒级数展开

### 2.1 泰勒级数的概念和构造

泰勒级数是一种将函数表示为幂级数的形式，它由函数在某一点的导数信息构造而成。对于函数 f(x)，其在点 a 处的泰勒级数展开式为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...

其中，f'(a)、f''(a)、f'''(a) 分别表示 f(x) 在点 a 处的导数、二阶导数、三阶导数，以此类推。

### 2.2 cosh函数的泰勒级数展开推导

对于 cosh 函数，其泰勒级数展开式可以在点 a = 0 处构造。利用 cosh 函数的导数公式：

cosh'(x) = sinh(x)
cosh''(x) = cosh(x)
cosh'''(x) = sinh(x)

可以得到在点 a = 0 处的导数值：

cosh(0) = 1
cosh'(0) = sinh(0) = 0
cosh''(0) = cosh(0) = 1
cosh'''(0) = sinh(0) = 0

代入泰勒级数展开式得到：

cosh(x) = 1 + 0(x - 0) + 1(x - 0)^2/2! + 0(x - 0)^3/3! + ...

整理后得到 cosh 函数的泰勒级数展开式：

cosh(x) = 1 + x^2/2! + x^4/4! + x^6/6! + ...

### 2.3 泰勒级数展开的收敛性讨论

泰勒级数展开的收敛性决定了该级数是否能够近似表示原函数。对于 cosh 函数的泰勒级数展开，其收敛半径为无穷大，即对于任意实数 x，级数