cosh函数的特殊值：揭示函数在特定点处的取值，掌握函数基本性质

# 1. cosh函数的定义和性质

cosh函数（双曲余弦函数）是双曲函数族中的一员，定义为：

cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

其中，e是自然对数的底数，约为2.71828。

cosh函数具有以下性质：

* **偶函数：**cosh(-x) = cosh(x)
* **单调递增：**cosh(x)在整个实数范围内单调递增
* **范围：**cosh(x)的取值范围为[1, ∞)
* **图像：**cosh函数的图像是一条向上开口的双曲线，与x轴的交点为(0, 1)

# 2. cosh函数的特殊值

### 2.1 cosh(0) = 1

**证明：**

cosh(x) 的定义为 (e^x + e^(-x)) / 2。将 x = 0 代入，得到：

cosh(0) = (e^0 + e^(-0)) / 2 = (1 + 1) / 2 = 1

因此，cosh(0) = 1。

### 2.2 cosh(1) = (e + 1/e) / 2

**证明：**

将 x = 1 代入 cosh(x) 的定义，得到：

cosh(1) = (e^1 + e^(-1)) / 2 = (e + 1/e) / 2

因此，cosh(1) = (e + 1/e) / 2。

### 2.3 cosh(2) = (e^2 + 1/e^2) / 2

**证明：**

将 x = 2 代入 cosh(x) 的定义，得到：

cosh(2) = (e^2 + e^(-2)) / 2 = (e^2 + 1/e^2) / 2

因此，cosh(2) = (e^2 + 1/e^2) / 2。

### 2.4 cosh(πi) = 0

**证明：**

将 x = πi 代入 cosh(x) 的定义，得到：

cosh(πi) = (e^(πi) + e^(-πi)) / 2 = (cos(π) + i sin(π) + cos(-π) + i sin(-π)) / 2

= (1 + i 0 + 1 + i 0) / 2 = 2 / 2 = 1

因此，cosh(πi) = 0。

# 3. cosh函数的导数和积分

### 3.1 cosh(x)' = sinh(x)

**导数定义：**

导数是函数在一点处的变化率。对于cosh(x)，其导数定义为：

cosh(x)' = lim(h -> 0) [cosh(x + h) - cosh(x)] / h

**导数推导：**

使用双曲余弦函数的定义：

cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

将cosh(x + h)和cosh(x)代入导数定义并化简：

cosh(x)' = lim(h -> 0) [(e^(x+h) + e^(-x-h)) / 2 -