cosh函数的极限与连续性：理解函数的收敛行为，掌握函数极限计算

# 1. cosh函数的定义和性质**

cosh函数是双曲余弦函数，定义为：

cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2

其中x是实数。

cosh函数具有以下性质：

* 奇偶性：cosh函数是偶函数，即cosh(-x) = cosh(x)。
* 单调性：cosh函数在整个实数域上是单调递增的。
* 范围：cosh函数的取值范围为[1, ∞)。
* 导数：cosh函数的导数为sinh函数，即cosh'(x) = sinh(x)。

# 2. cosh函数的极限

### 2.1 无穷大处的极限

**2.1.1 极限的定义和计算方法**

极限是函数在自变量趋于某个值时函数值的趋向。对于函数 f(x)，当 x 趋于 a 时，如果存在一个数 L，使得对于任意给定的 ε > 0，总存在一个 δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε，则称函数 f(x) 在 x = a 处极限为 L，记作 lim_(x->a) f(x) = L。

计算极限的方法有很多，常见的方法包括：

* 代入法：直接将自变量代入函数中，求出函数值。
* 因式分解法：将函数因式分解，然后化简求极限。
* 洛必达法则：当极限为 0/0 或 ∞/∞ 时，可以使用洛必达法则求极限。

**2.1.2 cosh函数在无穷大处的极限**

cosh函数在无穷大处的极限为 ∞。即 lim_(x->∞) cosh(x) = ∞。

**证明：**

当 x > 0 时，cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2 > e^x/2。而 lim_(x->∞) e^x = ∞，因此 lim_(x->∞) cosh(x) = ∞。

当 x < 0 时，cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2 > e^(-x)/2。而 lim_(x->-∞) e^(-x) = 0，因此 lim_(x->-∞) cosh(x) = ∞。

综上，lim_(x->∞) cosh(x) = ∞。

### 2.2 有限处的极限

**2.2.1 极限的定义和计算方法**

对于函数 f(x)，当 x 趋于 a 时，如果存在一个数 L，使得对于任意给定的 ε > 0，总存在一个 δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε，则称函数 f(x) 在 x = a 处极限为 L，记作 lim_(x->a) f(x) = L。

计算极限的方法有很多，常见的方法包括：

* 代入法：直接将自变量代入函数中，求出函数值。
* 因式分解法：将函数因式分解，然后化简求极限。
* 洛必达法则：当极限为 0/0 或 ∞/∞ 时，可以使用洛必达法则求极限。

**2.2.2 cosh函数在有限处的极限**

cosh函数在有限处的极限为 cosh(a)。即 lim_(x->a) cosh(x) = cosh(a)。

**证明：**

对于任意给定的 ε > 0，取 δ = ε。当 0 < |x - a| < δ 时，有：

|cosh(x) - cosh(a)| = |(e^x + e^(-x))/2 - (e^a + e^(-a))/2|
= |(e^x - e