cosh函数的复数域扩展：揭示函数在复平面上的特性，拓展函数视野

# 1. 复数域上的cosh函数**

**1.1 复数域的定义和运算**

复数域是包含所有复数的集合，复数由实部和虚部组成，表示为 `a + bi`，其中 `a` 和 `b` 是实数，`i` 是虚数单位，满足 `i^2 = -1`。复数域上的运算与实数域类似，包括加法、减法、乘法和除法。

**1.2 cosh函数的定义和基本性质**

cosh函数是双曲余弦函数，定义为 `cosh(z) = (e^z + e^(-z)) / 2`，其中 `z` 是复数。cosh函数具有以下基本性质：

* 奇偶性：cosh函数是偶函数，即 `cosh(-z) = cosh(z)`。
* 实值性：当 `z` 为实数时，cosh函数的值为实数。
* 单调性：cosh函数在复平面上单调递增。

# 2. cosh函数的解析性质

### 2.1 复平面上cosh函数的解析性

cosh函数在复平面上除了原点之外都是解析的。这是因为：

1. **导数和积分：** cosh函数的导数和积分都是解析函数。

cosh'(z) = sinh(z)
∫cosh(z) dz = sinh(z) + C

2. **留数定理：** cosh函数在原点的留数为0。因此，根据留数定理，cosh函数在复平面上除了原点之外都是解析的。

### 2.2 cosh函数的级数展开和收敛域

#### 2.2.1 泰勒级数展开

cosh函数在z=0处的泰勒级数展开为：

cosh(z) = 1 + z^2/2! + z^4/4! + z^6/6! + ...

该级数在整个复平面上收敛。

#### 2.2.2 劳伦级数展开

cosh函数在z=∞处的劳伦级数展开为：

cosh(z) = (e^z + e^-z)/2 = 1 + z^-2/2! + z^-4/4! + z^-6/6! + ...

该级数在|z|>1的区域内收敛。

### 代码块示例

**代码块 1：** cosh函数的泰勒级数展开

import math

def cosh(z):
  """
  计算复数z的cosh值。

  参数：
    z: 复数z。

  返回：
    复数cosh(z)。
  """

  result = 1.0
  term = 1.0
  n = 1
  while abs(term) > 1e-10:
    term = z**n / math.factorial(n)
    result += term
    n += 2

  return result

**代码逻辑分析：**

* 该代码使用泰勒级数展开来计算cosh(z)。
* 循环直到项的绝对值小于1e-10，以确保收敛。
* 循环变量n表示项的阶数，从1开始，每次增加2。

**参数说明：**

* `z`: 复数z，类型为`complex`。

### 表格示例

**表格 1：** cosh函数的解析性

| 区域 | 解析性 |
|---|---|
| z ≠ 0 | 解析 |
| z = 0 | 非解析 |

### mermaid流程图示例

**流程图 1：** cosh函数的解析性

graph LR
subgraph 解析
    A[z ≠ 0] -->