cosh函数的逆函数：探索双曲余弦函数的逆运算，拓展函数理解

# 1. 双曲余弦函数的定义和性质

双曲余弦函数（cosh）是双曲函数族中的一个重要成员。它与三角函数中的余弦函数类似，但具有不同的定义域和值域。

**定义：** 双曲余弦函数定义为：

cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

其中，x 是实数。

**性质：** 双曲余弦函数具有以下性质：

* 奇偶性：cosh(x) 是偶函数，即 cosh(-x) = cosh(x)。
* 单调性：cosh(x) 在整个实数域上单调递增。
* 范围：cosh(x) 的值域为 [1, ∞)。

# 2. cosh函数的逆函数理论基础

### 2.1 双曲函数的定义和运算

**定义：**

双曲函数是与三角函数类似的一组函数，但它们是基于双曲线的几何性质定义的。双曲函数主要包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）、双曲余切函数（coth）、双曲正割函数（sech）和双曲余割函数（csch）。

**运算：**

双曲函数与三角函数具有相似的运算性质，包括：

- **奇偶性：**sinh 和 tanh 为奇函数，cosh、coth、sech 和 csch 为偶函数。
- **加法定理：**
- sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)
- cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)
- **差减定理：**
- sinh(x - y) = sinh(x)cosh(y) - cosh(x)sinh(y)
- cosh(x - y) = cosh(x)cosh(y) - sinh(x)sinh(y)
- **积化和差公式：**
- sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)
- cosh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x)

### 2.2 cosh函数的单调性和可逆性

**单调性：**

cosh函数在整个实数域上单调递增。这意味着对于任何两个实数x和y，如果x > y，则cosh(x) > cosh(y)。

**可逆性：**

由于cosh函数是单调递增的，因此它是一个可逆函数。这意味着对于任何实数y，存在一个唯一的实数x使得cosh(x) = y。这个唯一的实数x就是cosh函数的逆函数，记作cosh⁻¹(y)。

# 3.1 Lambert W 函数的引入

### Lambert W 函数的定义

Lambert W 函数，也称为对数积分函数，是一个特殊函数，定义为满足以下方程的函数：

We^W = x

其中 x 是复数，W 是 Lambert W 函数的值。

Lambert W 函数有多个分支，通常用 W_k(x) 表示第 k 个分支，其中 k 是整数。主分支 W_0(x) 是当 x 为正实数时唯一的实值分支。

### Lambert W 函数的性质

Lambert W