双曲正切函数的逆函数：探索函数的逆运算

# 1. 双曲正切函数的定义和性质

双曲正切函数，记作 tanh，是双曲函数族中的一种，其定义为：

tanh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))

双曲正切函数具有以下性质：

* **范围：** tanh(x) 的值域为 (-1, 1)
* **奇函数：** tanh(-x) = -tanh(x)
* **单调递增：** tanh(x) 在其定义域内单调递增
* **导数：** tanh'(x) = 1 - tanh^2(x)
* **积分：** ∫tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C

# 2. 双曲正切函数的逆函数

### 2.1 逆双曲正切函数的定义和性质

逆双曲正切函数，记为 `arctanh`，是双曲正切函数 `tanh` 的逆函数。它将一个在 `[-1, 1]` 范围内的实数映射到一个在 `[-∞, ∞]` 范围内的实数。

逆双曲正切函数的定义如下：

arctanh(x) = y ⇔ tanh(y) = x

其中，`x` 是 `[-1, 1]` 范围内的实数，`y` 是 `[-∞, ∞]` 范围内的实数。

逆双曲正切函数的性质包括：

- **单调递增：** `arctanh(x)` 在 `[-1, 1]` 范围内单调递增。
- **奇函数：** `arctanh(-x) = -arctanh(x)`。
- **导数：** `arctanh'(x) = 1 / (1 - x^2)`。
- **积分：** `∫ arctanh(x) dx = x arctanh(x) - 1/2 ln(1 - x^2) + C`。

### 2.2 逆双曲正切函数的求导和积分

**求导**

逆双曲正切函数的导数公式为：

arctanh'(x) = 1 / (1 - x^2)

**证明：**

根据链式法则，有：

arctanh'(x) = d/dx [arctanh(x)] = d/dy [y] * d/dx [arctanh(y)]

其中，`y = tanh(x)`。

根据双曲正切函数的导数公式，有：

tanh'(x) = 1 / cosh^2(x)

根据双曲余弦函数的定义，有：

cosh^2(x) = (1 + sinh^2(x))

将 (2) 和 (3) 代入 (1)，得到：

arctanh'(x) = 1 / (1 - tanh^2(x)) = 1 / (1 - sinh^2(x) / cosh^2(x)) = 1 / (1 - sinh^2(x) / (1 + sinh^2(x))) = 1 / (1 - sinh^2(x)) / (1 + sinh^2(x)) = 1 / (1 - x^2)

**积分**

逆双曲正切函数的积分公式为：

∫ arctanh(x) dx = x arctanh(x) - 1/2 ln(1 - x^2) + C

**证明：**

令 `u = arctanh(x)`，则 `du/dx = 1 / (1 - x^2)`。

∫ arctanh(x) dx = ∫ u du = u^2 / 2 + C = (arctanh(x))^2 / 2 + C

d/dx [(arctanh(x))^2 / 2] = arctanh(x) * d/dx [arctanh(x)] = arctanh(x) * 1 / (1 - x^2) = arctanh(x)

因此，

∫ arctanh(x) dx