双曲正切函数的图像与性质：直观认识函数的几何特征

# 1. 双曲正切函数的定义和图像

双曲正切函数（tanh）是双曲函数族中的一员，其定义为：

tanh x = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))

其中，x 是实数。

双曲正切函数的图像是一个钟形曲线，其范围为 (-1, 1)。它在原点处对称，并且具有以下性质：

# 2. 双曲正切函数的性质

### 2.1 奇偶性、周期性和单调性

**奇偶性：**

双曲正切函数 tanh(x) 是一个奇函数，即 tanh(-x) = -tanh(x)。

**周期性：**

双曲正切函数 tanh(x) 是一个周期函数，其周期为 πi。

**单调性：**

双曲正切函数 tanh(x) 在整个实数域上单调递增。

### 2.2 渐近线和对称性

**渐近线：**

双曲正切函数 tanh(x) 在 x → ±∞ 时具有渐近线 y = ±1。

**对称性：**

双曲正切函数 tanh(x) 关于原点对称，即 tanh(-x) = -tanh(x)。

### 2.3 导数和积分

**导数：**

双曲正切函数 tanh(x) 的导数为 sech²(x)，即 d/dx tanh(x) = sech²(x)。

**积分：**

双曲正切函数 tanh(x) 的积分公式为 ln(cosh(x)) + C，其中 C 是积分常数。

**代码块：**

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义双曲正切函数
def tanh(x):
    return (np.exp(x) - np.exp(-x)) / (np.exp(x) + np.exp(-x))

# 绘制双曲正切函数图像
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = tanh(x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylab