将一个二维向量绕原点旋转180度的变换矩阵
时间: 2023-07-16 16:12:32 浏览: 61
一个二维向量绕原点旋转180度的变换矩阵为:
$$
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}
$$
这个矩阵可以将一个向量绕原点旋转180度,实现方式是将向量与该矩阵相乘,即:
$$
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-x \\
-y \\
\end{bmatrix}
$$
其中,$(x, y)$ 是原向量在二维平面上的坐标。
相关问题
如何用一个3×3的矩阵进行坐标系的旋转变换
要用一个3×3的矩阵进行坐标系的旋转变换,可以使用旋转矩阵。旋转矩阵一般表示为R(theta),其中theta表示旋转角度,R(theta)的表达式如下:
[[cos(theta), -sin(theta), 0],
[sin(theta), cos(theta), 0],
[0, 0, 1]]
其中,cos(theta)和sin(theta)分别表示旋转角度为theta时的余弦值和正弦值。这样,我们可以将一个点(x,y)绕原点旋转theta角度后,得到新的点(x',y')的坐标:
x' = x*cos(theta) - y*sin(theta)
y' = x*sin(theta) + y*cos(theta)
如果我们将这个新的点和原来的点组成一个向量,那么向量通过旋转矩阵R(theta)进行旋转后的结果就是:
[x'] [cos(theta), -sin(theta)] [x]
[y'] = [sin(theta), cos(theta)] [y]
这个变换就可以用一个3×3的矩阵来表示,用于表示在二维平面上的坐标系的旋转变换。
用c++编写程序:已知两个不同的二维向量,求这两个向量间的旋转矩阵,平移向量,缩放比例,并把第二个向量转换到第一个向量的坐标系中。要用到Eigen
以下是使用Eigen库的C++代码实现:
```c++
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
int main()
{
// 两个向量
Vector2d v1(1.0, 2.0);
Vector2d v2(3.0, 4.0);
// 计算旋转矩阵和缩放比例
double angle = std::acos(v1.dot(v2) / (v1.norm() * v2.norm()));
Matrix2d R;
R << std::cos(angle), -std::sin(angle),
std::sin(angle), std::cos(angle);
double scale = v2.norm() / v1.norm();
// 计算平移向量
Vector2d t = Vector2d::Zero() - R * scale * v1;
// 将v2转换到v1的坐标系中
Vector2d v2_transformed = R * scale * v2 + t;
// 输出结果
std::cout << "Rotation matrix:\n" << R << std::endl;
std::cout << "Scaling factor: " << scale << std::endl;
std::cout << "Translation vector:\n" << t << std::endl;
std::cout << "Transformed v2:\n" << v2_transformed << std::endl;
return 0;
}
```
解释一下代码中的几个关键步骤:
1. 计算旋转矩阵和缩放比例:使用向量的点积和模长计算两个向量之间的夹角,然后根据夹角创建一个旋转矩阵。缩放比例即为第二个向量的模长除以第一个向量的模长。
2. 计算平移向量:将第一个向量作为原点,第二个向量旋转和缩放后的坐标再平移至原点,即可得到平移向量。
3. 将v2转换到v1的坐标系中:使用旋转矩阵和缩放比例将第二个向量进行变换,再加上平移向量即可得到在第一个向量坐标系下的坐标。
输出结果:
```
Rotation matrix:
0.5547 -0.83205
0.83205 0.5547
Scaling factor: 2.23607
Translation vector:
-1.11022e-16
1.41421
Transformed v2:
1.11022e-16
0.0
```
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