有一个 n×m 方格的棋盘，求其方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

### 回答1：
对于一个 n×m 的棋盘，其中包含的正方形数量为：

1×1 的正方形数量为 (n×m) 个；

2×2 的正方形数量为 (n-1)×(m-1) 个；

3×3 的正方形数量为 (n-2)×(m-2) 个；

...

k×k 的正方形数量为 (n-k+1)×(m-k+1) 个。

因此，n×m 的棋盘中包含的正方形数量为：

(n×m) + ((n-1)×(m-1)) + ((n-2)×(m-2)) + ... + (1×1)

对于长方形，我们可以枚举其左上角和右下角的位置，即共有 (n-1)×(m-1) 种可能性。因此，n×m 的棋盘中包含的长方形数量为：

(n-1)×(m-1)

注意，这里不包括正方形。

### 回答2：
正方形：
对于 n×m 的棋盘，其最短边长为 1，最长边长为 min(n,m)，所以包含的正方形个数为：
1² + 2² + 3² + ... + min(n,m)²

可以用数学公式简化上述求和式：
1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
所以包含的正方形个数为：
min(n,m)(min(n,m)+1)(2min(n,m)+1)/6

长方形：
首先考虑宽和高都不相同的长方形。对于宽为 i，高为 j 的长方形，其可以从棋盘中的任意 i 个竖行和任意 j 个横行组成，所以包含的长方形个数为：
(n-i+1) × (m-j+1)
将宽和高交换，结果一样，所以计算出所有宽高不同的长方形个数，再减去正方形的个数，就是所有长方形的个数。

接下来考虑宽和高相同的长方形，其宽高可以为 1，2，3，...，min(n,m)。对于宽高为 i 的正方形，其可以从棋盘中的任意 i 个竖行和任意 i 个横行组成，所以包含的长方形个数为：
(n-i+1) × (m-i+1)
将所有同宽高不同的长方形数加起来，再加上同宽高的正方形数，就是所有长方形的个数。

综上所述，棋盘包含的长方形个数为：
所有宽高不同的长方形个数 - 所有正方形个数 + 所有宽高相同的长方形个数
= ∑[(n-i+1) × (m-j+1)] - ∑[min(n,m)²] + ∑[(n-i+1) × (m-i+1)]

### 回答3：
对于一个n x m的棋盘，我们可以将其分解为一个个小正方形。在这些小正方形中，我们可以找到不同形状的正方形和长方形。

先考虑正方形的数量。对于一个n x m的棋盘，我们可以在里面找到不同大小的正方形。例如：当n=1或m=1时，无法构成任何大小的正方形；当n=2或m=2时，只能构成1个2x2的正方形；当n=m=3时，可以构成4个1x1的正方形、1个2x2的正方形和1个3x3的正方形；当n=m=4时，可以构成9个1x1的正方形、4个2x2的正方形和1个3x3的正方形；以此类推。

由此可得，n x m的棋盘中，正方形的数量为：

1² + 2² + 3² + … + min(n, m)²

这是因为当n > m时，最大的正方形边长为m，所以计算到m；当n <= m时，最大的正方形边长为n，所以计算到n。

接下来考虑长方形的数量。我们可以从n x m的棋盘中选择两行和两列，构成一个长方形。由于有n行和m列，因此可以选择的行有n*(n-1)/2种，选择的列有m*(m-1)/2种。所以总共可以构成的长方形数量为：

n*(n-1)/2 * m*(m-1)/2

但我们要排除掉正方形的情况。正方形可以由两行和两列组成，所以排除掉的数量为：

1² + 2² + 3² + … + min(n, m)²

因此，n x m的棋盘中，长方形的数量为：

n*(n-1)/2 * m*(m-1)/2 - (1² + 2² + 3² + … + min(n, m)²)

综上所述，n x m的棋盘中，正方形的数量为1² + 2² + 3² + … + min(n, m)²，长方形的数量为n*(n-1)/2 * m*(m-1)/2 - (1² + 2² + 3² + … + min(n, m)²)。