矩阵的每一个列向量绕某个点旋转得到的新矩阵特征值怎么变化
时间: 2023-12-06 15:41:24 浏览: 32
假设矩阵为 $A$,每个列向量绕点 $p$ 逆时针旋转角度 $\theta$ 得到的新矩阵为 $B$。那么 $B$ 可以表示为:
$$B = R_{\theta}(p)A$$
其中 $R_{\theta}(p)$ 是绕点 $p$ 逆时针旋转角度 $\theta$ 的旋转矩阵。特征值的定义为矩阵 $A$ 乘上特征向量后与特征向量的数量积,即:
$$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$
对于矩阵 $B$,我们可以将其特征向量表示为旋转矩阵 $R_{\theta}(p)$ 乘上矩阵 $A$ 的特征向量,即:
$$B(\mathbf{v}) = R_{\theta}(p)A\mathbf{v} = R_{\theta}(p)\lambda \mathbf{v} = \lambda R_{\theta}(p) \mathbf{v}$$
因此,如果特征向量不变,特征值也不会变化;如果特征向量被旋转了,特征值可能会发生变化。特别地,如果旋转矩阵 $R_{\theta}(p)$ 是一个正交矩阵,那么特征向量的长度不变,只是方向发生了变化,特征值也会保持不变。
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在Matlab求一个矩阵的特征值和特征向量
在 Matlab 中,可以使用 `eig` 函数求解矩阵的特征值和特征向量。具体步骤如下:
1. 定义矩阵。例如,定义一个 3x3 的矩阵 A:
```matlab
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
```
2. 使用 `eig` 函数求解特征值和特征向量。将特征值保存在一个向量 `V` 中,将特征向量保存在一个矩阵 `D` 中。代码如下:
```matlab
[D, V] = eig(A);
```
注意,`D` 的每一列都是一个特征向量,而 `V` 是一个对角矩阵,其对角线上的元素就是特征值。
完整代码如下:
```matlab
% 定义矩阵
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
% 求解特征值和特征向量
[D, V] = eig(A);
% 输出结果
disp('特征值:');
disp(diag(V));
disp('特征向量:');
disp(D);
```
idl 怎么求一个矩阵的特征值和特征向量,示例代码
IDL 中可以使用 EIGENVALUES 和 EIGENVECTORS 函数来求解一个矩阵的特征值和特征向量。
下面是一个求解矩阵特征值和特征向量的示例代码:
```
; 定义一个3x3的矩阵
matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
; 求解矩阵的特征值
eigenvalues = EIGENVALUES(matrix)
; 求解矩阵的特征向量
eigenvectors = EIGENVECTORS(matrix)
; 输出结果
PRINT, "Matrix: ", matrix
PRINT, "Eigenvalues: ", eigenvalues
PRINT, "Eigenvectors: ", eigenvectors
```
注意,EIGENVECTORS 函数返回的是一个列向量矩阵,每一列代表一个特征向量。如果需要将特征向量转换为行向量,可以使用 TRANSPOSE 函数进行转置操作。