埃氏筛法优化，不再重复标记

埃氏筛法是一种常见的质数筛法，但是在实现中会存在重复标记的问题。为了解决这个问题，可以引入一个优化，即只标记每个合数一次。

具体实现方法是，对于每个质数p，从p^2开始标记其倍数，而不是从2p开始。因为对于每个小于p^2的数，其已经被之前的质数标记过了，所以只需要考虑大于等于p^2的数。

以下是代码实现：

def sieve(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    primes = []

    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False

    return primes

在以上代码中，我们只需要从p^2开始标记其倍数，即从i * i开始循环即可。这样可以避免重复标记的问题，提高效率。

相关问题

优化埃氏筛法，不再重复标记，并且打印出筛选次数和筛选后的数组

优化埃氏筛法的思路是，在标记质数时，只从当前质数的平方开始标记，因为在这之前的倍数已经被之前的质数标记过了。同时，我们可以使用一个数组记录每个数是否被标记过，避免重复标记。

以下是优化后的代码实现，同时输出了筛选次数和筛选后的数组：

def prime_sieve(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    primes = []
    count = 0  # 记录筛选次数
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            count += 1
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    print("筛选次数：", count)
    print("筛选后的数组：", primes)
    return primes

使用示例：

>>> prime_sieve(30)
筛选次数： 10
筛选后的数组： [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

埃氏筛法的时间复杂度以及其的推导过程

埃氏筛法是一种用来找出小于等于某个数的所有素数的算法。其时间复杂度为 O(n log log n)。下面是其推导过程：

1. 首先生成一个从 2 到 n 的整数数组；
2. 从小到大遍历数组中的每个数，如果当前数是素数，则把数组中它的倍数标记为合数（即把它们标记为非素数）；
3. 继续遍历下一个素数，重复步骤 2 直到遍历完所有小于等于 n 的素数。

对于第二步的标记操作，可以优化为只标记当前素数的平方及其之后的倍数，因为之前的倍数已经被之前的素数标记过了。这样可以减少不必要的操作，提高算法效率。