用C++写一个输入为两条三维线段，类型为pair<Point3D,Point3D>，判断两条线段在可延长的情况下是否相交

同样是一个计算几何问题，需要用到向量叉积的知识。不过这次是在三维空间中进行运算。

首先，我们需要实现一个 Point3D 类，表示三维空间中的点。代码如下：

class Point3D {
public:
    double x, y, z;

    Point3D(double _x = 0, double _y = 0, double _z = 0) : x(_x), y(_y), z(_z) {}

    Point3D operator+(const Point3D &p) const {
        return Point3D(x + p.x, y + p.y, z + p.z);
    }

    Point3D operator-(const Point3D &p) const {
        return Point3D(x - p.x, y - p.y, z - p.z);
    }

    Point3D operator*(double k) const {
        return Point3D(x * k, y * k, z * k);
    }

    double operator*(const Point3D &p) const {
        return x * p.x + y * p.y + z * p.z;
    }

    Point3D operator^(const Point3D &p) const {
        return Point3D(y * p.z - z * p.y, z * p.x - x * p.z, x * p.y - y * p.x);
    }

    double dist() const {
        return sqrt(x * x + y * y + z * z);
    }
};

其中，重载了加减乘运算符，以及向量点积和叉积运算符，以及求点到原点距离的 dist 函数。

接下来，我们定义一个函数，判断两条线段是否相交：

bool is_intersect(const pair<Point3D, Point3D> &seg1, const pair<Point3D, Point3D> &seg2) {
    Point3D p1 = seg1.first, q1 = seg1.second;
    Point3D p2 = seg2.first, q2 = seg2.second;

    Point3D v1 = q1 - p1;
    Point3D v2 = q2 - p2;

    Point3D n = v1 ^ v2;

    if (n.dist() == 0) {
        return false; // 平行
    }

    Point3D u = n ^ (p2 - p1);

    double t = u * n / (v1 * n);

    if (t < 0 || t > 1) {
        return false; // 不相交
    }

    double s = (p2 - p1) * n / (v1 * n);

    if (s < 0 || s > 1) {
        return false; // 不相交
    }

    return true; // 相交
}

这个函数的思路是先计算两个线段的叉积，然后根据结果判断是否平行。如果不平行，就计算出一个向量 u，根据它和两个线段的点积和向量 v1 的点积，计算出参数 t。如果 t 不在 [0, 1] 的范围内，那么两个线段不相交。

接着，根据 u 和另一个线段的点积和向量 v1 的点积，计算出参数 s。如果 s 不在 [0, 1] 的范围内，那么两个线段不相交。

最后，如果 t 和 s 都在 [0, 1] 的范围内，那么两个线段相交。