用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx

我们可以使用复化梯形公式和复化辛普生公式来计算 $I=\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx$：

首先，使用复化梯形公式，将 $[0,1]$ 区间分成 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $h=\frac{1}{n}$，则有：

$$
\begin{aligned}
I_{T} &= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}h \\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{\sin x_i + \sin x_{i+1}}{2}h \\
&= h\left(\frac{\sin 0 + \sin \frac{1}{n}}{2} + \frac{\sin \frac{1}{n} + \sin \frac{2}{n}}{2} + \cdots + \frac{\sin \frac{n-1}{n} + \sin 1}{2}\right) \\
&= \frac{h}{2}\left(\sin 0 + \sin 1 + 2\sum_{i=1}^{n-1} \sin \frac{i}{n}\right) \\
&= \frac{h}{2}\left(\sin 1 + 2\sum_{i=1}^{n-1} \sin \frac{i}{n}\right)
\end{aligned}
$$

然后，使用复化辛普生公式，将 $[0,1]$ 区间分成 $2n$ 个小区间，每个小区间长度为 $h=\frac{1}{2n}$，则有：

$$
\begin{aligned}
I_{S} &= \frac{h}{3}\left(f(x_0) + f(x_{2n}) + 4\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{2i}) + 2\sum_{i=1}^{n}f(x_{2i-1})\right) \\
&= \frac{h}{3}\left(\sin 0 + \sin 1 + 4\sum_{i=1}^{n-1}\sin \frac{2i}{2n} + 2\sum_{i=1}^{n}\sin \frac{2i-1}{2n}\right) \\
&= \frac{h}{3}\left(\sin 1 + 4\sum_{i=1}^{n-1}\sin \frac{i}{n} + 2\sum_{i=1}^{n}\sin \frac{i-\frac{1}{2}}{n}\right)
\end{aligned}
$$

因此，我们可以用上述公式计算 $I$ 的近似值。