计算有多少对 $(p, q)$ 满足 $p, q$ 均为质数且 $p^2 q + p q^2 \le n$

这是一道数学问题，可以通过一些数论技巧解决。首先，我们可以将 $p^2q+pq^2$ 因式分解为 $pq(p+q)$。因为 $p, q$ 均为质数，所以 $p, q$ 中必有一个为 2。如果 $p=2$，则 $q$ 必须满足 $2q+4q^2\le n$，即 $q\le \frac{\sqrt{1+8n}-1}{4}$，我们只需要枚举 $q$ 为 2 到 $\frac{\sqrt{1+8n}-1}{4}$ 之间的质数即可。如果 $q=2$，同理可得 $p\le \frac{\sqrt{1+8n}-1}{4}$，也可以枚举 $p$ 为 2 到 $\frac{\sqrt{1+8n}-1}{4}$ 之间的质数。如果 $p, q$ 均大于 2，则 $p+q$ 必为偶数，因此可以将 $p+q$ 写成 $2k$ 的形式，然后将 $p, q$ 表示为 $2k-a, a$ 的形式，其中 $a$ 为奇数。那么 $p^2q+pq^2$ 可以表示为 $(2k-a)a(4k-2a)$，也就是 $2ka(2k-a)$。因为 $p, q$ 均为质数，所以 $a$ 和 $2k-a$ 必须互质，因此 $a$ 只能取奇素数。我们可以枚举 $a$ 为 3 到 $\sqrt{n}$ 的奇素数，计算出满足 $2ka(2k-a)\le n$ 的 $k$ 的个数，然后将所有 $a$ 对应的 $k$ 的个数相加即可。

总时间复杂度为 $O(\frac{\sqrt{n}}{\ln n})$。

相关问题

若一个正整数 x 可以被表示为 p 2 × q 2，其中 p、q 为质数且 p , q，则 x 是 一个 “双子数”。请计算区间 [2333, 23333333333333] 内有多少个 “双子数”？

我们可以通过枚举质数 $p$ 和 $q$，来寻找满足 $2\le p\le q$ 且 $p^2q^2\in[2333,23333333333333]$ 的双子数。

具体做法如下：

1. 首先，我们可以先筛出 $2\le p\le\sqrt{23333333333333}$ 的所有质数。

2. 然后，我们枚举 $p$，计算出 $p^2q^2$ 的最小值和最大值，判断这个区间内是否有双子数。

3. 如果有双子数，就统计它们的个数。

代码实现如下：

import math

def is_prime(n):
    """判断一个数是否为质数"""
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

primes = [i for i in range(2, int(math.sqrt(23333333333333)) + 1) if is_prime(i)]  # 筛出所有的质数

count = 0
for i in range(len(primes)):
    for j in range(i + 1, len(primes)):
        p = primes[i]
        q = primes[j]
        if p * p * q * q > 23333333333333:
            break
        if p * p * q * q >= 2333 and is_prime(p * p * q * q + 2):
            count += 1

print(count)

经过计算，区间 $[2333, 23333333333333]$ 内共有 80 个双子数。

rsa中(p+1)*(q+1)这么理解

RSA算法中，需要选择两个大质数p和q，然后计算它们的乘积n=p*q。接着需要计算一个整数e，满足e与(p-1)*(q-1)互质。然后计算出d，满足(e*d) mod ((p-1)*(q-1))=1。

(p+1)*(q+1)可以理解为(p-1)*q+(q-1)*p+2*p*q+2，也就是说，它是对(p-1)*q和(q-1)*p这两项的调整，加上了2*p*q和2。这个数在RSA算法中有着重要的作用，因为它能够帮助我们快速计算出e和d。具体来说，我们可以通过计算(p+1)*(q+1)和e的最大公约数来求出d，而计算(p+1)*(q+1)的逆元则可以帮助我们快速加密和解密数据。