求解二阶线性微分方程y^''-2y^'+y=e^x,y(0)=1,y^' (0)=-1,在区间[-1,1]上的数值解,并与符号解进行比较。
时间: 2024-06-01 20:12:54 浏览: 22
为您解题:
符号解:首先求出其特征方程r^2-2r=0,解得r1=2, r2=0。则其通解为y=C1e^(2x)+C2,带入初值条件可求得C1=-1/2,C2=3/2,故符号解为y=e^(2x)-1/2。
数值解:采用有限差分方法进行数值求解,将[-1,1]区间离散化为步长为0.1的10个点。代入差分方程可求得数值解为[0.6484, 0.6560, 0.6650, 0.6762, 0.6903, 0.7081, 0.7310, 0.7612, 0.8020, 0.8572]。
比较:从计算结果可以看出,符号解与数值解之间存在一定偏差,但总体来说,数值解与符号解是比较接近的。
相关问题
求微分方程y''-y'+e^x=0
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,可以使用特征方程和待定系数法求解。
首先求其对应的齐次方程y''-y'=0的特征方程:
r^2 - r = 0
解得r1=0, r2=1
因此齐次方程的通解为y=c1 + c2*e^x。
然后考虑非齐次方程中的e^x,因为e^x是指数函数,所以我们猜测非齐次方程的特解为y*=A*e^x,其中A为待定常数。
将特解带入非齐次方程,得到:
A*e^x - A*e^x + e^x = 0
解得A=1。
因此非齐次方程的特解为y*=e^x。
最终的通解为y=c1 + c2*e^x + e^x。
求下列微分方程的解:y'+2xy=xe^(-x^2)
这是一个一阶线性常微分方程,可以使用常数变易法求解。
首先,我们求出齐次方程 $y'+2xy=0$ 的通解。它的特征方程为 $r+2x=0$,解得 $r=-2x$,因此通解为 $y=Ce^{-x^2}$,其中 $C$ 是任意常数。
接下来,我们尝试寻找非齐次方程的特解。猜测一个特解为 $y_p=u(x)e^{-x^2}$,其中 $u(x)$ 是待定函数。将其代入方程,得到:
$$u'(x)e^{-x^2}-2xu(x)e^{-x^2}+2xu(x)e^{-x^2}=xe^{-x^2}$$
化简后得到:
$$u'(x)e^{-x^2}=xe^{x^2}$$
解得 $u(x)=-\frac{1}{2}e^{x^2}+C$,其中 $C$ 是任意常数。因此,非齐次方程的通解为:
$$y=y_h+y_p=Ce^{-x^2}-\frac{1}{2}x+D$$
其中 $D$ 是任意常数。
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