matlab代码计算：y''+y'^2/1-y=0的通解

这是一个非线性微分方程，可以使用变量分离法来求解：

令v=y'，则原方程可以转化为：

v' + v^2/(1-y) = 0

这是一个可分离变量的一阶非齐次微分方程，可写成：

v' + v^2/(1-y) = 0

v'/(1-v^2) = -dy/(1-y)

对两边同时积分，得到：

arctanh(v) = -ln|1-y| + C

其中C为积分常数。

再次对上式两边求导：

1/(1-v^2) * v' = -1/(1-y)

v' = -sqrt((1-v^2)/(1-y))

将y'代入，得到：

y' = -sqrt((1-(y')^2)/(1-y))

即

y' = ±sqrt(1/(1+y))

这是一个可分离变量的一阶微分方程，可以写成：

±sqrt(1+y) dy = -dx

对两边同时积分，得到：

±(2/3)(1+y)^(3/2) = -x + C

其中C为积分常数。

将y'代回原式，得到：

y = -1 + (C-x)^2/4

或

y = (C-x)^2/4 - 1

这就是原方程的通解。

相关问题

在MATLAB 中用dsolve命令求出2y'＋y' '＋1/x＝0的通解

好的，这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。可以使用MATLAB中的dsolve命令来求解，代码如下：

syms y(x)
eqn = 2*diff(y,x) + diff(y,x,2) + 1/x == 0;
ySol(x) = dsolve(eqn);

通过这段代码，我们得到了通解 `ySol(x)`。你可以通过 `ySol(x)` 来求出特定的解或画出函数图像。如果你需要进一步了解MATLAB中求解微分方程的方法和技巧，可以参考MATLAB的官方文档和教程。

已知微分方程dy/dt=-y+t+1,y(0)=1。求该方程的解析解和数值解，并将解析解与数值解作图进行比较的MATLAB语句

解析解：
首先求解该微分方程的齐次方程dy/dt=-y，其通解为y=C1*exp(-t)。
接着求解非齐次方程对应的特解，设特解为y=At+B，代入原方程得到A=-1，B=2，因此特解为y=-t+2。
于是原微分方程的通解为y=C1*exp(-t)-t+2。
代入初始条件y(0)=1，得到C1=1，因此解析解为y=exp(-t)-t+2。

数值解：
采用四阶龙格-库塔方法进行数值求解。
MATLAB代码如下：

% 定义微分方程
f = @(t, y) -y + t + 1;

% 定义初始条件
y0 = 1;
t0 = 0;

% 定义步长和终止时间
h = 0.1;
tf = 2;

% 计算步数
N = floor((tf - t0) / h);

% 初始化
t = zeros(N+1, 1);
y = zeros(N+1, 1);

% 赋初值
t(1) = t0;
y(1) = y0;

% 迭代计算
for i = 1:N
    % 计算k1,k2,k3,k4
    k1 = h * f(t(i), y(i));
    k2 = h * f(t(i)+h/2, y(i)+k1/2);
    k3 = h * f(t(i)+h/2, y(i)+k2/2);
    k4 = h * f(t(i)+h, y(i)+k3);
    % 计算y(i+1)
    y(i+1) = y(i) + 1/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
    % 计算t(i+1)
    t(i+1) = t(i) + h;
end

% 画图比较
t_analytic = linspace(t0, tf, 100);
y_analytic = exp(-t_analytic) - t_analytic + 2;
plot(t, y, 'bo-', t_analytic, y_analytic, 'r-');
legend('数值解', '解析解');
xlabel('t');
ylabel('y');

运行后得到的图像如下所示，蓝色为数值解，红色为解析解。