用MATLAB求微分方程 y′′−3y′+ y=x 的通解及当 y(0) =1, (1)y = 3时的特解。
时间: 2023-11-28 13:03:41 浏览: 34
可以使用MATLAB的dsolve函数求解微分方程的通解,代码如下:
```matlab
syms y(t)
eqn = diff(y, t, 2) - 3*diff(y, t) + y == x;
ySol(t) = dsolve(eqn);
```
这里使用了符号计算工具箱中的符号变量y和符号函数t,以及dsolve函数求解微分方程的通解ySol。
接下来,可以代入边界条件y(0) = 1和y'(0) = 3,解出通解中的常数项,得到特解。代码如下:
```matlab
xC = solve(subs(ySol, t, 0) == 1, subs(diff(ySol), t, 0) == 3, 'x');
ySol(t) = subs(ySol, x, xC);
```
这里使用了MATLAB的solve函数求解方程组,其中subs函数用于代入边界条件,将通解中的常数项表示为x。
最后,可以画出特解的图像。代码如下:
```matlab
fplot(ySol, [0 10]);
xlabel('t');
ylabel('y');
title('Solution of y'''' - 3y'' + y = x');
```
这里使用了MATLAB的fplot函数画出特解的图像。
相关问题
MATLAB1. 求微分方程 y′′−3y′+ y =x 的通解及当 y(0) =1, (1)y = 3时的特解。
根据微分方程 y′′-3y′+y=x 可以写出特征方程:
r^2 - 3r + 1 = 0
解这个方程可以得到两个根:
r1 = (3 + sqrt(5))/2
r2 = (3 - sqrt(5))/2
因此通解可以表示为:
y = c1 * exp(r1 * t) + c2 * exp(r2 * t) + x
其中c1和c2是待定系数,需要通过边界条件来确定。根据题目给出的边界条件,y(0) = 1和y'(0) = 3,可以得到:
c1 + c2 + x = 1
c1 * r1 + c2 * r2 = 3
解这个方程组可以得到:
c1 = (3 - x + (2 - 3x + x^2) * exp(-t * (3 - sqrt(5))/2))/(2 * sqrt(5))
c2 = (x - 3 - (2 + 3x + x^2) * exp(-t * (3 + sqrt(5))/2))/(2 * sqrt(5))
因此特解可以表示为:
y = (3 - x + (2 - 3x + x^2) * exp(-t * (3 - sqrt(5))/2)) / (2 * sqrt(5)) * exp((3 + sqrt(5))/2 * t)
+ (x - 3 - (2 + 3x + x^2) * exp(-t * (3 + sqrt(5))/2)) / (2 * sqrt(5)) * exp((3 - sqrt(5))/2 * t)
+ x
其中x是微分方程右侧的常数项。
用Matlab求微分方程y‘+0.5y=1,y(0)=0
可以使用Matlab中的ode45函数来求解微分方程。具体实现如下:
```matlab
% 定义微分方程
ode = @(t, y) 1 - 0.5*y;
% 定义初始条件
y0 = 0;
% 定义时间范围
tspan = [0, 10];
% 求解微分方程
[t, y] = ode45(ode, tspan, y0);
% 绘制结果曲线
plot(t, y);
xlabel('t');
ylabel('y');
title('y'' + 0.5y = 1, y(0) = 0');
```
运行上述代码后,可以得到微分方程的数值解,并绘制出y随时间t的变化曲线。
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