编程题： 利用递归方法求s=1+3+5+...+(2n+1)

好的，这是一个简单的递归题目。我们可以将这个问题分解成两个部分：求前n个奇数的和以及求第n个奇数。然后利用递归的思想进行求解。

具体实现如下：

def sum_of_odd_numbers(n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return sum_of_odd_numbers(n - 1) + 2 * n - 1

n = int(input("请输入一个正整数："))
s = sum_of_odd_numbers(n)
print("s =", s)

我们定义一个函数 `sum_of_odd_numbers(n)`，它的功能是求前n个奇数的和。当n等于0时，返回0；否则，返回 `sum_of_odd_numbers(n - 1) + 2 * n - 1`。这里的 `2 * n - 1` 就是第n个奇数。

最后，我们输入一个正整数n，调用 `sum_of_odd_numbers(n)` 函数求解，并输出结果。

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编程题： 利用递归方法求s=1+3+5+...+(2n+1) Java

好的，下面是 Java 代码实现：

public class RecursiveSum {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;  // 求和的项数
        int sum = sumOfOddNumber(n);
        System.out.println("s = " + sum);
    }
    
    public static int sumOfOddNumber(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        } else {
            return sumOfOddNumber(n-1) + 2*n-1;
        }
    }
}

上述代码中，`sumOfOddNumber`方法采用递归方式实现求和，当n等于0时，返回0；否则，返回`sumOfOddNumber(n-1) + 2*n-1`，即前n-1个奇数的和加上第n个奇数。在`main`方法中，我们调用`sumOfOddNumber`方法，并输出结果。

编程题： 利用递归方法求s=1+3+5+...+(2n+1) （10.0分）

Java 代码实现：

public class Recursion {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        int s = sum(n);
        System.out.println("s = " + s);
    }

    public static int sum(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        } else {
            return sum(n - 1) + 2 * n - 1;
        }
    }
}

解析：

题目要求求解 1+3+5+...+(2n+1) 的和，这是一个典型的递归问题。可以定义一个递归函数 sum(n)，用于计算前 n 个奇数的和。对于任意正整数 n，有：

sum(n) = sum(n - 1) + (2n - 1)

其中，sum(n - 1) 表示前 n - 1 个奇数的和，(2n - 1) 表示第 n 个奇数。特别地，当 n = 0 时，sum(n) = 0。

根据上述递推公式，可以编写递归函数 sum(n) 的代码。在函数中，首先判断 n 是否等于 0，如果是，则返回 0；否则，返回 sum(n - 1) + (2n - 1)。注意，递归函数的结束条件是 n = 0，否则程序将一直调用自身，直到发生栈溢出错误。在 main() 函数中，调用 sum(n) 函数即可求得结果。

输出结果为：

s = 25

因此，1+3+5+...+11 的和为 25。