编写函数 f(n),返回该数的所有因子之和。如果整数 m 的全部因子(包括 1， 不包括 m 本身)之和等于 n，且整数 n 的全部因子（包括 1，不包括 n 本身）之 和等于 m，并且 m,n 不相等，则称 m,n 是一对亲密数。求 4000 以内的全部亲密 数

首先，我们可以定义一个函数 `f(n)` 来计算一个数的所有因子之和：

def f(n):
    factors = [1]
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            factors.append(i)
            if i != n // i:
                factors.append(n // i)
    return sum(factors)

在这个函数中，我们遍历 2 到 $\sqrt{n}$ 的所有数，如果这个数是 `n` 的因子，则将它加入到因子列表 `factors` 中，并将它的配对因子（即 `n` 除以这个因子得到的数）也加入到 `factors` 中。最后返回所有因子的和。

接下来，我们可以遍历 2 到 4000 的所有数，找到它们的所有因子之和，并将这个和作为下标来访问一个字典 `pairs`。如果这个字典中对应的值也等于这个数的所有因子之和，且这两个数不相等，则它们是一对亲密数，将它们加入到一个列表 `result` 中。

以下是 Python 代码实现：

def find_amicable_numbers():
    pairs = {}
    result = []
    for i in range(2, 4001):
        fi = f(i)
        if fi in pairs and pairs[fi] == i and i != fi:
            result.append((i, fi))
        pairs[i] = fi
    return result

最后，我们可以调用 `find_amicable_numbers` 函数来查找 4000 以内的所有亲密数，并将它们打印出来。

以下是 Python 代码实现：

pairs = find_amicable_numbers()
for pair in pairs:
    print(pair)

这个程序将会输出所有 4000 以内的亲密数。