对非平凡无向连通图(p,q),若用避圈法求其生成树,应该选择至少条边

对于一个非平凡无向连通图(p,q)，应用避圈法求生成树的过程如下：

1. 任选一个顶点作为根节点，并将其加入生成树中。
2. 找到与生成树相邻的边中权值最小的边，将其加入生成树中。
3. 如果加入该边后生成树出现环，则删除环上权值最大的边，并将其加入非生成树集合中。
4. 重复步骤2和3，直到生成树中有p-1条边为止。

因此，至少应该选择p-1条边。

相关问题

给定一个带权图，求其最小生成树。使用避圈法或破圈法，用c语言编写

以下是使用避圈法（Kruskal算法）求带权图最小生成树的C语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义边的结构体
typedef struct edge {
    int from; // 起点
    int to; // 终点
    int weight; // 权重
} Edge;

// 定义并查集结构体
typedef struct union_find {
    int *parent; // 存放节点的父节点
    int *rank; // 存放节点的秩（树的高度）
} UnionFind;

// 初始化并查集
UnionFind *createUnionFind(int n) {
    UnionFind *uf = (UnionFind *) malloc(sizeof(UnionFind));
    uf->parent = (int *) malloc(n * sizeof(int));
    uf->rank = (int *) malloc(n * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        uf->parent[i] = i; // 初始时每个节点的父节点都是自己
        uf->rank[i] = 0; // 初始时每个节点的秩都是0
    }
    return uf;
}

// 查找节点所在集合的根节点
int find(UnionFind *uf, int x) {
    if (uf->parent[x] != x) {
        uf->parent[x] = find(uf, uf->parent[x]); // 路径压缩
    }
    return uf->parent[x];
}

// 合并两个集合
void unionSets(UnionFind *uf, int x, int y) {
    int rootX = find(uf, x);
    int rootY = find(uf, y);
    if (rootX != rootY) {
        if (uf->rank[rootX] < uf->rank[rootY]) {
            uf->parent[rootX] = rootY;
        } else if (uf->rank[rootX] > uf->rank[rootY]) {
            uf->parent[rootY] = rootX;
        } else {
            uf->parent[rootY] = rootX;
            uf->rank[rootX]++;
        }
    }
}

// 比较两条边的权重，用于排序
int compare(const void *a, const void *b) {
    Edge *edgeA = (Edge *) a;
    Edge *edgeB = (Edge *) b;
    return edgeA->weight - edgeB->weight;
}

// 使用避圈法（Kruskal算法）求最小生成树
Edge *kruskal(int **graph, int n, int *numEdges) {
    // 构造边的数组
    Edge *edges = (Edge *) malloc(n * n * sizeof(Edge));
    int index = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (graph[i][j] != 0) {
                edges[index].from = i;
                edges[index].to = j;
                edges[index].weight = graph[i][j];
                index++;
            }
        }
    }
    *numEdges = index;

    // 对边按权重进行排序
    qsort(edges, *numEdges, sizeof(Edge), compare);

    // 使用并查集维护连通性
    UnionFind *uf = createUnionFind(n);
    Edge *result = (Edge *) malloc((n - 1) * sizeof(Edge));
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < *numEdges; i++) {
        int from = edges[i].from;
        int to = edges[i].to;
        if (find(uf, from) != find(uf, to)) {
            result[count] = edges[i];
            count++;
            unionSets(uf, from, to);
            if (count == n - 1) {
                break;
            }
        }
    }

    // 释放内存
    free(uf->parent);
    free(uf->rank);
    free(uf);
    free(edges);

    return result;
}

int main() {
    int n = 5; // 图的节点数
    int **graph = (int **) malloc(n * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        graph[i] = (int *) malloc(n * sizeof(int));
    }
    graph[0][1] = 2;
    graph[0][3] = 6;
    graph[1][2] = 3;
    graph[1][3] = 8;
    graph[1][4] = 5;
    graph[2][4] = 7;
    graph[3][4] = 9;

    int numEdges;
    Edge *result = kruskal(graph, n, &numEdges);

    printf("最小生成树的边为：\n");
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        printf("(%d, %d, %d)\n", result[i].from, result[i].to, result[i].weight);
    }

    // 释放内存
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        free(graph[i]);
    }
    free(graph);
    free(result);

    return 0;
}

上述代码中，我们使用了并查集来维护连通性，并使用边的权重对边进行排序。最终得到的结果是最小生成树的所有边。

用破圈法求一个带权连通图的最小生成树用c++实现

好的，我会回答你的问题。

破圈法是一种求带权连通图最小生成树的经典算法之一，它的基本思想是：从连通图中任选一条边作为生成树的第一条边，然后依次添加剩余的边，直到生成一棵最小生成树。

下面是用C++实现破圈法求解带权连通图的最小生成树的示例代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 1005; // 最大顶点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大

struct Edge {
    int u, v, w;
    Edge(int u_, int v_, int w_) : u(u_), v(v_), w(w_) {}
};

int n, m; // 顶点数、边数
int fa[MAXN]; // 并查集数组

int find(int x) { // 并查集查找父节点
    return (fa[x] == x) ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}

void merge(int x, int y) { // 并查集合并
    fa[find(x)] = find(y);
}

bool cmp(Edge a, Edge b) { // 边长从小到大排序
    return a.w < b.w;
}

int Kruskal(vector<Edge> &edges) { // 破圈法求最小生成树
    int ans = 0;
    sort(edges.begin(), edges.end(), cmp); // 边长从小到大排序
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i; // 初始化并查集
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        if (find(u) != find(v)) { // 判断是否在同一连通块
            merge(u, v); // 合并连通块
            ans += w; // 加上边长
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    vector<Edge> edges;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        edges.push_back(Edge(u, v, w));
    }
    int ans = Kruskal(edges);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

上述代码中，首先定义了一个边的结构体Edge，其中包括边的起点、终点和边权重。然后，定义了并查集的find和merge操作及判断两个点是否在同一连通块的函数。接着，定义了一个比较函数cmp，用于将边按照权值从小到大排序。最后，实现了破圈法的Kruskal函数，其中对边进行排序，初始化并查集，依次添加边，并判断是否在同一连通块，最后返回最小生成树的边权和。在main函数中，读入顶点数、边数和边的信息，调用Kruskal函数求解最小生成树，并输出结果。

希望我的回答能够帮到你，如果你还有其他问题，可以继续问我哦。