A*A^T是A的协方差矩阵吗
时间: 2023-09-29 08:05:18 浏览: 49
不完全正确。协方差矩阵是指一个随机向量的每个分量之间的协方差构成的矩阵。对于一个矩阵 $A$,$A A^T$ 是一个对称矩阵,如果将其视为随机向量的协方差矩阵,那么它对应的随机向量应该是一个行向量,而不是一个列向量。因此,$A A^T$ 不是 $A$ 的协方差矩阵。如果要得到 $A$ 的协方差矩阵,可以先对 $A$ 进行中心化处理,然后计算 $A$ 的转置乘以 $A$,即 $(A-\bar{A})^T (A-\bar{A})$,其中 $\bar{A}$ 是 $A$ 的均值向量。
相关问题
协方差矩阵的性质以及公式是什么
协方差矩阵是描述随机变量之间的线性相关性的矩阵,它的对角线元素是各个随机变量的方差,非对角线元素表示两个随机变量之间的协方差。协方差矩阵的公式为:
![covariance matrix formula](https://cdn.kesci.com/upload/image/q5r8mzuu0t.png)
其中,X是一个n维列向量,E表示期望运算,T表示转置运算,*表示矩阵乘法,n表示随机变量的个数。
协方差矩阵具有以下性质:
1. 协方差矩阵是一个对称矩阵。
2. 协方差矩阵的非负定性,即对于任何非零的向量a,有a^TΣa >= 0,其中Σ表示协方差矩阵。
3. 如果两个随机变量不相关,则它们的协方差为0,因此协方差矩阵中的非对角线元素为0,只有对角线元素是各个随机变量的方差。
协方差矩阵和$\omega$、$A$和$B$有什么关系
协方差矩阵与$\omega$、$A$和$B$之间有以下关系:
设$X$为一个$n$维随机向量,其协方差矩阵为$\Sigma$,$\omega$为一个$n$维向量,$A$和$B$为$n \times p$矩阵,则有:
$$\operatorname{Cov}(AX + B\omega) = A\Sigma A^T$$
其中,$\operatorname{Cov}$表示协方差矩阵。
这个关系式的意义是,如果我们对随机向量$X$进行线性变换$AX + B\omega$,那么变换后的向量的协方差矩阵就是原始向量的协方差矩阵与变换矩阵$A$的乘积$A\Sigma A^T$。这个式子在很多统计学和机器学习的应用中都很有用,例如主成分分析(PCA)和线性判别分析(LDA)等。