系统齐次状态方程为:X‘ = AX,要求将矩阵A=[1 -1 0;-1 1 0; 0 0 1]化为对角形
时间: 2024-05-21 21:10:20 浏览: 16
首先,计算矩阵A的特征值和特征向量:
$$
\begin{vmatrix}
1-\lambda & -1 & 0 \\
-1 & 1-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 1-\lambda
\end{vmatrix}
= (1-\lambda)((1-\lambda)^2-1)-(-1)(-1)\cdot 0 - 0 \cdot (-1)(1-\lambda) \\
= (1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda) = 0
$$
解得特征值为$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 2$。对于每个特征值,求其对应的特征向量:
当$\lambda_1 = 1$时,解齐次方程组
$
\begin{cases}
(1-1)x_1 - y_1 = 0 \\
-x_1 + (1-1)y_1 = 0 \\
z_1 = 0
\end{cases}
$
得到特征向量$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$;
当$\lambda_2 = 0$时,解齐次方程组
$
\begin{cases}
x_2 - y_2 = 0 \\
-x_2 + y_2 = 0 \\
z_2 = 1
\end{cases}
$
得到特征向量$v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$;
当$\lambda_3 = 2$时,解齐次方程组
$
\begin{cases}
(1-2)x_3 - y_3 = 0 \\
-x_3 + (1-2)y_3 = 0 \\
z_3 = 0
\end{cases}
$
得到特征向量$v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$。
将特征向量按列组成矩阵$V = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,则有$AV = VD$,其中$D$是对角矩阵,对角线上分别为特征值,即$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$。两边同时左乘$V^{-1}$,得到$A = VDV^{-1}$。由于$V$中第三列全为0,其逆矩阵不存在,因此不能直接用$V^{-1}$计算,需要使用伴随矩阵求逆矩阵。最终有:
$$
\begin{aligned}
A &= VDV^{-1} \\
&= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 1/2 \\ 1 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
因此,系统齐次状态方程的矩阵$A$可以化为对角形,即$A = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 1/2 \\ 1 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$。
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