首先我们证明两个连续函数的和也是连续的。从我们已经证明的定理来看,我没有看到一个真正简单的方法来证明这一点。因此,我使用序列证明了连续性的基本特征。因此,我们需要以下引理:引理:以下各项等价:(a)如果an → a,则f(an)→ f(a),(b)f-1(U)是开放的∀开放集U。证明:(a)⇒(b)让U是开放的。如果f-1(U)不是开放的,则∃p∈f-1(U)s.t.∀n∃an<f-1(U)s.t. |p-an| < 1 n。然后an → p,所以f(an)→ f(p)。但是f(an)<U∀n,因此lim f(an)<U,因为Uc是封闭的。因此f(p)<U,与p∈f-1(U)矛盾。(b)⇒(a)假设an → a。让Bm = f-1(f(a)-1 m,f(a)+1 m)。Bm是开放的,包含a。因此∃N s.t. an∈Bm∀n≥N。因此f(am)∈(f(a)-1 n,f(a)+1 n)∀m>N。因此|f(am)-f(a)|<1 n∀m≥N。因此f(am)→ f(a)。使用引理很容易看出连续函数的和是连续的。让h(x)= f(x)-x。然后h是连续的。集合{}是封闭的,而f留下的点的集合恰好是h-1({})。由于h是连续的,根据定理2.9(e),这个集合是封闭的。对于第二部分,以同样的方式,由于g是连续的,{}是封闭的,{x | g(x)= } = g-1({}),因此也是封闭的。转为latex
时间: 2023-03-30 12:03:17 浏览: 116
我可以回答这个问题。首先,我们需要证明两个连续函数的和也是连续的。根据我们已经证明的定理,我没有看到一个真正简单的方法来证明这一点。因此,我使用序列证明了连续性的基本特征。为此,我们需要以下引理:引理:以下各项等价:(a)如果an → a,则f(an)→ f(a),(b)f-1(U)是开放的∀开放集U。证明:(a)⇒(b)让U是开放的。如果f-1(U)不是开放的,则∃p∈f-1(U)s.t.∀n∃an<f-1(U)s.t. |p-an| < 1 n。然后an → p,所以f(an)→ f(p)。但是f(an)<U∀n,因此lim f(an)<U,因为Uc是封闭的。因此f(p)<U,与p∈f-1(U)矛盾。(b)⇒(a)假设an → a。让Bm = f-1(f(a)-1 m,f(a) 1 m)。Bm是开放的,包含a。因此∃N s.t. an∈Bm∀n≥N。因此f(am)∈(f(a)-1 n,f(a) 1 n)∀m>N。因此|f(am)-f(a)|<1 n∀m≥N。因此f(am)→ f(a)。使用引理很容易看出连续函数的和是连续的。让h(x)= f(x)-x。然后h是连续的。集合{}是封闭的,而f留下的点的集合恰好是h-1({})。由于h是连续的,根据定理2.9(e),这个集合是封闭的。对于第二部分,以同样的方式,由于g是连续的,{}是封闭的,{x | g(x)= } = g-1({}),因此也是封闭的。
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