首先我们证明两个连续函数的和也是连续的。从我们已经证明的定理来看，我没有看到一个真正简单的方法来证明这一点。因此，我使用序列证明了连续性的基本特征。因此，我们需要以下引理：引理：以下各项等价：（a）如果an → a，则f（an）→ f（a），（b）f-1（U）是开放的∀开放集U。证明：（a）⇒（b）让U是开放的。如果f-1（U）不是开放的，则∃p∈f-1（U）s.t.∀n∃an<f-1（U）s.t. |p-an| < 1 n。然后an → p，所以f（an）→ f（p）。但是f（an）<U∀n，因此lim f（an）<U，因为Uc是封闭的。因此f（p）<U，与p∈f-1（U）矛盾。（b）⇒（a）假设an → a。让Bm = f-1（f（a）-1 m，f（a）+1 m）。Bm是开放的，包含a。因此∃N s.t. an∈Bm∀n≥N。因此f（am）∈（f（a）-1 n，f（a）+1 n）∀m>N。因此|f（am）-f（a）|<1 n∀m≥N。因此f（am）→ f（a）。使用引理很容易看出连续函数的和是连续的。让h（x）= f（x）-x。然后h是连续的。集合{}是封闭的，而f留下的点的集合恰好是h-1（{}）。由于h是连续的，根据定理2.9（e），这个集合是封闭的。对于第二部分，以同样的方式，由于g是连续的，{}是封闭的，{x | g（x）= } = g-1（{}），因此也是封闭的。转为latex

我可以回答这个问题。首先，我们需要证明两个连续函数的和也是连续的。根据我们已经证明的定理，我没有看到一个真正简单的方法来证明这一点。因此，我使用序列证明了连续性的基本特征。为此，我们需要以下引理：引理：以下各项等价：（a）如果an → a，则f（an）→ f（a），（b）f-1（U）是开放的∀开放集U。证明：（a）⇒（b）让U是开放的。如果f-1（U）不是开放的，则∃p∈f-1（U）s.t.∀n∃an<f-1（U）s.t. |p-an| < 1 n。然后an → p，所以f（an）→ f（p）。但是f（an）<U∀n，因此lim f（an）<U，因为Uc是封闭的。因此f（p）<U，与p∈f-1（U）矛盾。（b）⇒（a）假设an → a。让Bm = f-1（f（a）-1 m，f（a） 1 m）。Bm是开放的，包含a。因此∃N s.t. an∈Bm∀n≥N。因此f（am）∈（f（a）-1 n，f（a） 1 n）∀m>N。因此|f（am）-f（a）|<1 n∀m≥N。因此f（am）→ f（a）。使用引理很容易看出连续函数的和是连续的。让h（x）= f（x）-x。然后h是连续的。集合{}是封闭的，而f留下的点的集合恰好是h-1（{}）。由于h是连续的，根据定理2.9（e），这个集合是封闭的。对于第二部分，以同样的方式，由于g是连续的，{}是封闭的，{x | g（x）= } = g-1（{}），因此也是封闭的。